¿Series de potencias formales como objetos iniciales?

Este tipo de cosas a veces se pueden llevar a cabo en el marco de un álgebra fuertemente lineal .

Los objetos en esta configuración son campos de series formales, llamadas series de Noether , sobre algún campo$F$. Esos campos pueden equiparse con una noción de suma que no es topológica y tiene un sentido definido del tipo de manipulaciones que realizó. Consulte el artículo de Wikipedia Serie Hahn para obtener una definición de suma en el caso de la serie Hahn (esos son un caso especial de la serie Noetheriana).

Dados dos de estos campos$\mathbb{S}$y$\mathbb{S}'$y una funcion$\Phi: \mathbb{S} \rightarrow \mathbb{S}'$, dilo$\Phi$es un operador fuertemente lineal si es$F$-lineal y conmuta con sumas. Una buena elección de morfismos.$\mathbb{S} \rightarrow \mathbb{S}'$es el de los morfismos de campo fuertemente lineales.

Dos ejemplos para ilustrar mi punto.

-Si$\Phi: \mathbb{S} \rightarrow \mathbb{S}$es un operador fuertemente lineal que se contrae en un sentido teórico de valoración, entonces el operador$\operatorname{id}_{\mathbb{S}}+\Phi$tiene un recíproco que se puede ver como la suma$(\operatorname{id}_{\mathbb{S}}+\Phi)^{-1}=\sum \limits_{n \in \mathbb{N}} (-1)^n\ \Phi^{\circ n}$. Lo que significa que para$s \in \mathbb{S}$, la suma$t:=\sum \limits_{n \in \mathbb{N}} (-1)^n\ \Phi^{\circ n}(s)$se define con$s=t+\Phi(t)$y viceversa _

-En el campo$\mathbb{L}$de hiperseries logarítmicas (que es un campo de la serie noetheriana, consulte este artículo ), hay un endomorfismo de campo fuertemente lineal$\mathbb{L} \rightarrow \mathbb{L}$denotado$\circ_{x+1}$que actúa sobre una serie$f$como la pre-composición con la serie$x+1$, dónde$x$se ve como la identidad serie/función. así que en$\mathbb{L}$, podemos dar sentido a$\Delta$como el operador fuertemente lineal$\Delta:=\circ_{x+1}-\operatorname{id}_{\mathbb{L}}$. El campo$\mathbb{L}$también está equipado con una derivación$\partial$que es un operador fuertemente lineal$\mathbb{L} \rightarrow \mathbb{L}$satisfaciendo la regla de Leibniz$\forall f,g \in \mathbb{L},\partial (f \ g) = f \ \partial g + \partial f \ g$. Porque la serie en$\mathbb{L}$tener expansiones de Taylor, uno en realidad tiene$\Delta = \sum \limits_{n \in \mathbb{N}^{>0}} \frac{\partial^n}{n!}$. Un derecho inverso$\int$a$\partial$también se puede encontrar usando el método del primer párrafo.

Encontrarás definiciones precisas y más información en el artículo Operadores en series de potencias generalizadas de Joris van der Hoeven. Una buena heurística con esos objetos es que son realizaciones combinatorias de espacios de Banach.

Observe que el anillo$\mathbb{Z}[x_1,...,x_n]$es solo inicial en la categoría de anillos conmutativos con prescrito$n$-uples$(a_1,...,a_n)$. Asimismo, en la categoría$\mathcal{C}$de campos de serie noetheriana sobre el campo$F$con receta$n$-uples, el campo$\mathbb{F}_n:=F[[{\varepsilon_1}^{\mathbb{Z}},...,{\varepsilon_n}^{\mathbb{Z}}]]$de la serie formal de Laurent sobre$F$con variables$\varepsilon_1,...,\varepsilon_n$es inicial. De hecho, dado un objeto$(\mathbb{S},s_1,...,s_n)$en esta categoría y una serie$f= \sum \limits_{(z_1,...,z_n) \in \mathbb{Z}^n} f_{z_1,...,z_n} {\varepsilon_1}^{z_1} \cdot \cdot \cdot {\varepsilon_n}^{z_n}$en$\mathbb{F}_n$, la suma$f(s_1,...,s_n):= \sum \limits_{(z_1,...,z_n) \in \mathbb{Z}^n} f_{z_1,...,z_n} {s_1}^{z_1} \cdot \cdot \cdot {s_n}^{z_n}$está bien definido en$\mathbb{S}$. La correspondencia$f \mapsto f(s_1,...,s_n)$es el único morfismo$(\mathbb{F}_n,\varepsilon_1,...,\varepsilon_n) \longrightarrow (\mathbb{S},s_1,...,s_n)$.

Entonces, si una ecuación en$\mathbb{S}$puede reducirse a una identidad$f(s_1,...,s_n)=0$por cierto$f \in \mathbb{F}_n$, entonces se aloja en$\mathbb{S}$.

Desde$\mathbb{F}_1$mismo (este es solo el campo de las series formales de Laurent sobre$F$) está dotado de una derivación formal$\partial$y pre-composiciones$\circ_g$para ciertas series$g$, esto implica que muchas relaciones generales con respecto a la derivación y la composición se pueden derivar en$\mathbb{F}_1$y luego se deduce en contextos más generales.

Ahora permítanme dar un ejemplo contrario a la validez de ciertas identidades formales en el mismo escenario. Considere, en una extensión bien elegida$\mathbb{T}$del campo de transseries logarítmico-exponenciales , la serie$\operatorname{e}^x$. Podemos elegir$\mathbb{T}$tal que está equipado con una pre-composición$\circ_{x+1}$y una derivación$\partial$como en los ejemplos anteriores. No tenemos$\Delta(\operatorname{e}^x)=(\operatorname{e}^{\partial}-1)(\operatorname{e}^x)$, simplemente porque la suma$\sum \limits_{n \in \mathbb{N}^{>0}} \frac{\partial^n \operatorname{e}^x}{n!}$no existe.

Hay alguna discusión sobre estos asuntos en "Un teorema de elevación para series de potencias formales" de Bender.

Además, pensar en una serie de potencias formal como una lista de una secuencia de números u otras expresiones/variables/indeterminados conmutativos a los que se les puede aplicar una 'involución infinita' orden por orden (un álgebra graduada) como en los tres ejemplos en MathOverflow La pregunta " Ejemplos de involuciones de dimensión infinita " deja en claro que se pueden hacer definiciones de los inversos multiplicativos y composicionales de una serie de potencias formales (y ciertas series de Laurent) que son consistentes con truncamientos convergentes (u otras modificaciones) de una potencia formal divergente. serie.