¿Por qué una cierta derivada covariante del tensor tensión-energía desaparece debido a la invariancia del difeomorfismo?

En el volumen 1 de teoría de cuerdas de Polchinski, en el capítulo 1.2, después de la ecuación 1.2.22, dice

$$\nabla_{a}T^{ab}=0$$ como consecuencia de la invariancia del difeomorfismo.

Pero no puedo deducirlo. Mi derivación es la siguiente:

Bajo la reparametrización:${\sigma^{a}}'=\sigma^a+\epsilon^a$

$$\delta X^\mu=X'^\mu(\tau',\sigma')-X^{\mu}(\tau',\sigma')=-\epsilon^a \partial_{a}X^\mu$$

$$\delta \gamma_{ab}=\gamma'_{a,b}(\tau',\sigma')-\gamma_{ab}(\tau ', \sigma')=-\nabla_{a}\epsilon_b-\nabla_b \epsilon_a$$ Como se trata de una simetría, se deja invariante la acción hasta una derivada total. Pero en este caso, si elegimos $\epsilon=0$en el límite de la hoja del mundo, la acción es invariable: $$\delta S=0$$

Así tenemos:

$$\delta S=\frac{\delta S}{\delta{\gamma_{ab}}}\delta \gamma_{ab}+\frac{\delta S}{\delta X^{\mu}}\delta X^{\mu}=0$$

Por definición:

$$\frac{\delta S}{\delta \gamma_{ab}}=-\frac{1}{4\pi}(-\gamma)^{1/2}T^{ab}$$

Así tenemos

$$\int d^2 \sigma (\frac{1}{4\pi}(-\gamma)^{1/2}T^{ab}(\nabla_a \epsilon_b+\nabla_b \epsilon_a)+\frac{\delta S}{\delta X^\mu}\delta X^\mu)=0$$

Para tener$\nabla_a T^{ab}=0$, Necesitamos tener$\frac{\delta S}{\delta X^\mu}=0$, que se puede obtener imponiendo la ecuación de movimiento de$X^{\mu}$.No hay nada malo en imponer la ecuación de movimiento para obtener corrientes conservadas.

Pero mi confusión es que si tenemos que imponer la ecuación de movimiento de$X^\mu$Llegar$\nabla_a T^{ab}=0$, por qué no podemos usar la ecuación de$\gamma_{ab}$,a saber$T_{ab}=0$para sacar la conclusión. ¿Por qué molestarse en usar eom de$X^{\mu}$?

Agradeceré que si alguien puede ayudar a revisar mi argumento para señalar mi error o explicar el motivo.