Operadores, Distribuciones y Estados en QFT

En primer lugar, mencionaré lo que entiendo (por favor, corrija si es incorrecto):

  • Los estados son vectores en el espacio de Hilbert, para incluir un espectro continuo (y, por lo tanto, distribuciones), expandimos este espacio al espacio Rigged de Hilbert, luego, las distribuciones, al igual que los estados habituales, son vectores (en alguna representación) en este espacio.
  • Los operadores son solo un mapa del espacio vectorial a otro, esto incluye el espacio Rigged Hilbert.
  • El a ^ , a ^ † (operadores habituales de creación/aniquilación) son operadores en el espacio de Fock que se construyen a partir de un conjunto de espacios de Rigged Hilbert (cada uno con un número diferente de partículas).

Entonces mis preguntas son:

  1. Dosis:

    a ^ ( X ) d ( X → − y → ) = ? d ( X → − y → ) a ^ ( X )
    desde arriba, esos operadores deberían actuar sobre esta distribución delta, al igual que actúan sobre los estados, ¿no es así?

  2. Si lo anterior es cierto, entonces puedo reemplazar a ^ por cualquier otro operador, como d / d X , entonces tenemos la derivada de la distribución Delta, y la relación anterior no es válida. Algunos me dijeron que el operador diferencial anterior y a ^ están actuando en "espacios diferentes", por lo tanto, por encima de la igualdad es cierto para a ^ , pero no para el operador diferencial. Sin embargo, no pudieron explicarme por qué actúan en diferentes espacios, aun así ambos solo operadores, (entiendo que d / d X ya está escrito en alguna representación particular, pero siempre podemos cambiarlo.), esto incluso se vuelve más extraño si reduzco QFT a un grado de libertad y obtengo osciladores armónicos cuánticos simples, en los que a ^ se define por el operador diferencial anterior (el impulso).

  3. En general, para los operadores arbitrarios, obviamente tenemos:

    d d X A ^ B ^ ≠ d d X A ^ ⋅ B ^ + A ^ ⋅ d d X B ^
    Entonces, ¿cómo en QFT podemos usar "integrar por partes" para escribir algo como:
    ∫ d 3 X a ^ † ∇ 2 a ^ = ∫ d 3 X ∇ 2 a ^ † a ^
    (tales expresiones se pueden encontrar en la formulación de campos escalares que no interactúan), a menos que consideremos algo como [ a ^ † ( X ) , ∇ X 2 ] = 0 , lo cual no tiene sentido si consideramos que ∇ 2 y a ^ † actuando sobre “diferentes espacios”, y luego ∇ 2 se puede mover como una "constante" (como me han sugerido).

Gracias de antemano por aclararme esas confusiones.

1) sí: a es una distribución con valores de operador (número q), y d es una distribución (número c): conmutan. 2) no: a y d / d X actúan sobre diferentes espacios: no son intercambiables (también, pag ^ ≠ − i d / d X , porque pag actúa sobre H y d / d X actúa sobre L pag ). El hecho de que ambos a y d / d X son operadores no significa que actúen en el mismo espacio: piense en la matriz identidad en 2 y 3 dimensiones: ambos son operadores, pero no son intercambiables 3) ¿cuáles son A y B , y ¿por qué es esto tan obvio?
1) Como descubrí al buscar en Google, los números c, q son notaciones antiguas de Dirac, ¿hay una razón de rigor más moderna? y se considera como Axioma? 2) ¿Por qué no puedo considerar d / d X actuando en el espacio de Hilbert? ¿Ser completo no es suficiente para ser integrable al cuadrado? al final, ambos deberían actuar sobre los vectores de estado, si no, ¿qué nabla "hace" en la tercera pregunta? 3) A , B operadores arbitrarios, si los actúo sobre alguna función, esa relación obviamente incorrecta en general, es el caso diferente para a , a † ?

Respuestas (1)

  1. El a , a † actuar sobre el espacio de Fock. Si escribes al azar d ( X → − y → ) ¿no es ni un elemento de un espacio de Fock ni un operador en él? La ecuación realmente no tiene sentido sin más contexto. Sin embargo, d es solo una distribución en funciones del espacio-tiempo y no tiene valor de operador en sí mismo, por lo que el significado de a ( X ) d ( X − y ) es obvio que da a ( y ) cuando se integra sobre X , no importa el orden.

  2. En QFT, a ( X ) es un operador en el espacio de estados, pero d d X no es. Los estados no son funciones del espacio-tiempo como lo son en la mecánica ondulatoria de la mecánica cuántica habitual, son funcionales de configuraciones de campo, por lo que d d ϕ es un operador sobre el espacio de estados en una determinada representación, pero la derivada del espacio-tiempo nunca lo es. Si reduce al oscilador armónico, no tiene a ( X ) más - solo tienes a , y luego su espacio Fock es simplemente el habitual L 2 ( R 3 ) . El espacio de Fock de QFT no es eso, son expresiones en los campos , no en las coordenadas del espacio-tiempo.

  3. Tu "obviamente" obviamente no tiene sentido. Si A , B no son funciones con valores de operador , entonces escribir una derivada de espacio-tiempo delante de ellas no tiene ningún sentido. Si son funciones con valores de operador, entonces el d d X no es un operador en el espacio de los estados en sí mismo y la regla del producto es obviamente cierta.

Su confusión básica parece ser sobre qué actúa la derivada del espacio-tiempo. Actúa sobre funciones de espacio-tiempo , que pueden tener valor de operador, pero no sabe nada de eso, ya que no es un operador en el espacio de estados en sí mismo: QFT no es mecánica cuántica donde tiene funciones de onda.

Thx, parece un poco más claro, pero no estoy familiarizado con objetos como "Funciones valoradas por operadores" de las que habla, tal vez pueda consultar algún libro con una introducción rigurosa a QM / QFT (pero no demasiado riguroso), o tal vez explicar esos conceptos un poco, porque los libros clásicos no tocan estos temas, lo que solo me confunde, gracias.
@TMS: una función con valor de operador es exactamente lo que dice en la lata: es una función R norte → O ( H ) dónde O ( H ) es el álgebra de operadores en tu espacio de estados. No hay mucho con lo que estar "familiarizado", es exactamente como el operador de evolución temporal tu ( t ) que también podrías ver como una función con valores de operador t ↦ tu ( t ) , solo en lugar de t tienes X como el argumento.
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