¿Bajo qué condiciones jw es igual a la variable de Laplace s en un circuito eléctrico?

Imagina que tengo un actuador electromagnético y resolví las ecuaciones diferenciales subyacentes. Obtuve una solución para la excitación sinusoidal, de la siguiente manera (solo un ejemplo, sin antecedentes físicos):

GRAMO ( j ω ) = I ( j ω ) tu ( j ω ) = 1 1 + j ω T

Ahora acabo de configurar

j ω = s , s → Variable de Laplace

Llegar

GRAMO ( s ) = 1 1 + s T

y afirmo que esta es la función de transferencia del circuito eléctrico que alimenta al actuador. Estoy seguro de que los resultados que obtengo son correctos, pero me dijeron que no puedo configurar

j ω = s
sin más explicación.

Entonces, me pregunto cuáles son las condiciones para hacer lo que hice, ¿cómo puedo probar que ambas ecuaciones son correctas y explicarlo de una manera matemática correcta? Siento que todos (en la literatura) simplemente lo hacen o evitan el problema.

Explicación adicional:

El sistema anterior G (jw) muestra un comportamiento de paso bajo en el dominio de la frecuencia, lo que significa una excitación de voltaje sinusodial

i ( j ω ) = GRAMO ( j ω ) ⋅ tu ( j ω ) = 1 1 + j ω T ⋅ tu ( j ω )
Obtengo una mayor amortiguación cuanto mayor es la frecuencia de la excitación.

Pero también sabemos que una función de transferencia

i ( s ) = GRAMO ( s ) ⋅ tu ( s ) = 1 1 + s T ⋅ tu ( s )
emocionado por un paso unitario
tu ( s ) = tu 0 s
también conducirá a una solución válida, a saber, la exponencial típica
i ( t ) = tu 0 ⋅ ( 1 − mi − t / T )
PT1-comportamiento.

Entonces, ¿cuál es la condición, que un sistema que es válido en el dominio de la frecuencia para señales armónicas en estado estable , también es válido en el dominio de Laplace al establecer

j ω = s
para el estado no estacionario, por ejemplo, para la excitación con un paso unitario?

Respuestas (2)

La variable de Laplace s se relaciona con el de Fourier j ω como sigue:

s = σ + j ω

La transformada de Fourier se puede ver como una transformada de Laplace cuando σ = 0 . El σ permite que la transformación integral de Laplace converja para señales que la transformada de Fourier no, por ejemplo, un paso unitario (función de Heaviside).

Si está trabajando con señales reales, en un régimen de estado estacionario , es probable que las formas de onda converjan tanto para Fourier como para Laplace (la señal no se volverá repentinamente ilimitada o presentará un punto no diferenciable), por lo que s y j ω convertirse en intercambiables. De manera matemáticamente rigurosa, la ROC ( Región de Convergencia ) de Laplace debe incluir σ = 0 , también conocido como el j ω eje del plano s.

Las limitaciones de convergencia de Fourier son motivo para algunas matemáticas extremas, si está interesado, Wikipedia tiene un gran enlace sobre esto .

Entonces, básicamente, el hecho de que mi señal sea la corriente eléctrica, que es continua, ¿es suficiente como explicación? Pero, ¿qué sucede si obtuve la solución para mi ecuación diferencial con la suposición de una excitación sinusoidal, pero se supone que también es cierto para un paso unitario de voltaje?
El estado estacionario es la clave aquí. Cuando trabaja con ecuaciones diferenciales y condiciones iniciales, también está modelando un comportamiento transitorio y el de Laplace no es equivalente al de Fourier. Una vez que se estabiliza el transitorio y se alcanza el régimen de estado estacionario, los resultados de Fourier deberían ser iguales a los de Laplace.
Más genéricamente, creo que puedes intercambiar jw y s cuando estás en la región de convergencia de la transformada de Laplace.
@ScottSeidman En realidad, creo que la forma correcta de decirlo es si la Región de Convergencia de Laplace incluye la posibilidad de σ = 0 (es decir, el j ω eje). Casi me olvido de esto, gracias, debería agregarlo a la respuesta.
Amplié mi pregunta. Porque estoy interesado en los casos en los que no hay un estado estacionario, pero aún debe ser válido. @ScottSeidman Ese parece ser un punto de partida interesante para futuras investigaciones.
(+1) Todo se reduce a la estabilidad del sistema. Si el sistema es estable tendrá un estado estacionario por lo que existe la transformada de Fourier (ya que relaciona la entrada y la salida para una entrada sinusoidal en condiciones de estado estacionario) y es válida la relación con la transformada de Laplace. Si el sistema no es estable, la transformada de Fourier de su respuesta al impulso no existirá.

Déjame intentar una respuesta corta sin matemáticas. Supongamos que no está interesado en la relación entre el tiempo y el dominio de la frecuencia; eso significa: está interesado únicamente en las propiedades dependientes de la frecuencia de un sistema o circuito. En este caso, no necesita la Transformación de Laplace en absoluto, y puede interpretar el símbolo s como una abreviatura de jw únicamente ( s=jw ). En este caso, puede calcular y dibujar las cantidades de interés dependientes de la frecuencia (magnitud, fase) para su circuito.

Sin embargo, para discutir algunas propiedades especiales del sistema (en particular para sistemas con retroalimentación), es útil cambiar al dominio de frecuencia complejo (configurando s=σ+jω ). Y en el plano de frecuencia complejo podemos visualizar algunos parámetros interesantes como distribución polo/cero, frecuencias de polo, cifras de calidad de polo,...).

Estos parámetros son muy útiles para describir las propiedades del sistema en comparación con otros sistemas (similares). Un buen ejemplo son los circuitos de filtro, que se pueden caracterizar por las ubicaciones de polo y cero correspondientes.

Finalmente, vale la pena mencionar que las aplicaciones más importantes del dominio de frecuencia complejo son los análisis de estabilidad (diagrama de Nyquist).

Pero debe darse cuenta de que el dominio de frecuencia complejo es un producto artificial puro. Las frecuencias complejas no existen y no se pueden producir. Pero son una herramienta muy eficiente para analizar (y también para diseñar) circuitos y sistemas dependientes de la frecuencia.

Sé todo eso. Está describiendo el caso de que tiene una función de transferencia que depende de sy le gustaría analizar su comportamiento de frecuencia. Pero en mi caso, conozco el comportamiento de la frecuencia y quiero saber bajo qué condiciones puedo afirmar que la fórmula matemática que tengo, dependiente de jw, también es una función de transferencia válida.
Creo que puedes cambiar de la variable de frecuencia compleja a jw y viceversa. Ambas direcciones están permitidas. ¿Era ESTA tu pregunta?
Bueno, puedo, los resultados lo prueban, pero mi supervisor me dijo que se deben cumplir ciertas condiciones y trato de averiguar cuáles. Básicamente me dijeron que no puedo escribir jw en una ecuación y s en la siguiente, afirmando que sería equivalente, sin más explicaciones. Básicamente me falta una sola frase.
En su comentario a la otra respuesta, ha mencionado condiciones de estado estacionario. Tenga en cuenta que cualquier función de transferencia (en w o en s) es válida solo para condiciones de estado estacionario. El término "frecuencia" se define solo para señales periódicas.
pero una respuesta escalonada no es de estado estable durante todo el tiempo, es transitoria, ¿no es así? ¿Tengo una definición incorrecta de "estado estable" en mi mente?
La respuesta al escalón está, por supuesto, definida en el dominio del tiempo. Cuando todos los transitorios de la respuesta al escalón son cercanos a cero (insignificantes), tenemos condiciones de estado estacionario.
¿Bajo qué condiciones jw es igual a la variable de Laplace s en un circuito eléctrico?
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