¿Cuál es el significado de la forma estándar de las funciones de transferencia de primer y segundo orden?

¿Cuál es el significado físico de "primer" y "segundo orden"? ... ¿Cómo puedo saber si un sistema es de primer o segundo orden?

Un sistema de primer orden tiene un elemento de almacenamiento de energía y requiere solo una condición inicial para especificar la solución única a la ecuación diferencial gobernante. Los circuitos RC y RL son sistemas de primer orden ya que cada uno tiene un elemento de almacenamiento de energía, un capacitor y un inductor respectivamente.

Un sistema de segundo orden tiene dos elementos de almacenamiento de energía y requiere dos condiciones iniciales para especificar la solución única. Un circuito RLC es un sistema de segundo orden ya que contiene un capacitor y un inductor

¿De dónde vienen las ecuaciones (1) y (4)?

Considere el caso homogéneo para la ecuación de primer orden:

$$\tau \frac{dy}{dt} + y = 0$$

Como es bien sabido, la solución es de la forma

$$y_c(t) = y_c(0) \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$$

que da significado físico al parámetro$\tau$- es la constante de tiempo asociada al sistema. Cuanto mayor sea la constante de tiempo$\tau$, los transitorios más largos tardan en decaer.

Para el sistema de segundo orden, la ecuación homogénea es

$$\tau^2\frac{d^2y}{dt^2} + 2\tau \zeta \frac{dy}{dt} + y = 0$$

Suponiendo que las soluciones son de la forma$e^{st}$, la ecuación característica asociada es por lo tanto

$$\tau^2s^2 + 2\tau\zeta s + 1 = 0$$

que tiene dos soluciones

$$s = \frac{-\zeta \pm\sqrt{\zeta^2 -1}}{\tau}$$

que da significado físico a la constante de amortiguamiento $\zeta$asociado con el sistema.

Las soluciones transitorias son, cuando$\zeta > 1$(sobreamortiguado), de la forma

$$y_c(t) = Ae^{\frac{-\zeta +\sqrt{\zeta^2 -1}}{\tau}t} + Be^{\frac{-\zeta -\sqrt{\zeta^2 -1}}{\tau}t}$$

cuándo$\zeta = 1$(amortiguado críticamente), las soluciones son de la forma

$$y_c(t) = \left(A + Bt\right)e^{-\frac{\zeta}{\tau}t}$$

y cuando$\zeta < 1$(subamortiguado), las soluciones son de la forma

$$y_c(t) = e^{-\frac{\zeta}{\tau}t}\left(A\cos \left(t\sqrt{1 - \zeta^2}\right) + B\sin \left(t\sqrt{1 - \zeta^2}\right) \right)$$

Cuando se da un sistema de primer orden, ¿por qué a veces se da la ecuación (2) ya veces la ecuación (3) como función de transferencia para este sistema?

Diferentes disciplinas tienen diferentes convenciones y formas estándar. La ecuación (2) me parece un estándar de teoría de control , mientras que la ecuación (3) parece un estándar de procesamiento de señales .

Los formularios estándar evolucionan para adaptarse a las necesidades de una disciplina. Además, si una persona o grupo particularmente influyente desarrolla y usa una convención particular, esa convención a menudo se convierte en el estándar. Puede ser educativo examinar libros de texto y revistas más antiguos para tener una idea de cómo evolucionan la notación y las formas estándar.

1. El orden de una función de transferencia está determinado por el orden más alto del denominador. Este orden da el número de polos y, por lo tanto, determina las características de caída de la función de transferencia (magnitud), así como la cantidad de cambio de fase para frecuencias crecientes.

2. El formulario estándar es muy importante porque permite encontrar parámetros característicos por inspección visual y/o cálculos simples: Orden del filtro, fórmula para frecuencia de polo, fórmula para polo-Q. Estos parámetros son las entradas de diseño para diseñar un filtro y se pueden encontrar para todas las respuestas clásicas en las tablas de filtros.

3. Por supuesto, se pueden usar ambas formas de las ecuaciones. Sin embargo, la última forma es más conveniente porque inmediatamente puede identificar la frecuencia del polo wn. Esta frecuencia característica está relacionada con la frecuencia de corte wc (que normalmente viene dada) por un factor fijo que depende de la característica deseada (Ejemplo 1: segundo orden de Butterworth, wc=wn; ejemplo 2: segundo orden de Chebyshev, ondulación de 0,5 dB , wp=1.2313*wc).

EDITAR : Olvidé mencionar que el factor de calidad del polo (polo Q o Qp) está relacionado con el factor de amortiguamiento ζ (como se indica en sus fórmulas) por la relación: ζ = 1/(2*Qp).

Resumen: La última forma (Ec. 6) contiene las cantidades de paso bajo más importantes como parámetros (Ao, wp, Qp), que también se pueden medir (diagrama de Bode para magnitud y fase). En la práctica, esta forma se compara con la forma que se deriva directamente del circuito y, por lo tanto, es posible ver cómo todos los parámetros dependen de las partes particulares del circuito.