Interpretación de la función transformada de Laplace y Laplace vs Fourier

La transformada de Laplace tiene algunas buenas propiedades que ayudan a comprender mejor el comportamiento de los sistemas lineales.

Una propiedad muy buena es que la transformada de Laplace evaluada a lo largo del eje jw es equivalente a la transformada de Fourier, que es menos abstracta y más fácil de entender. Por supuesto, esto nos lleva de nuevo a la pregunta de por qué no usamos la transformada de Fourier en primer lugar.

La respuesta es bastante simple. A menudo tenemos que analizar y trabajar con sistemas que son inestables o en los que queremos determinar si son estables o no. En tales casos, la transformada de Fourier falla (= no existe). Esta es la razón por la que se introdujo la transformada de Laplace. Incluye un término adicional que ayuda a la integral a converger y, por lo tanto, la transformada de Laplace se puede aplicar a una gama más amplia de problemas y aplicaciones.

¿ Cuáles son las transformadas de Fourier para las funciones de escalón y rampa ? Como bien afirma el Prof. CP Quevedo: “ La idea de decir que tales funciones son periódicas, con período infinito, ya no se aplica (la función nunca vuelve a cero y no tiene la oportunidad de repetirse, tampoco en el infinito”. Esto es donde entra la transformada de Laplace, introduciendo un término real$\sigma$en$s = \sigma + j\omega$, es posible hacer que la integral de la "Transformada de Fourier" (ahora una Transformada de Laplace) converja.

$$F(s) = \int_{^{^0{-}}}^{\infty}f(t)e^{^{-st}}dt$$

De hecho, el objetivo principal de la transformada de Laplace es convertir una ecuación diferencial en una ecuación algebraica (como logaritmos). Luego, para operar en el dominio complejo, expanda el resultado con fracciones parciales, regrese al dominio del tiempo usando (normalmente) tablas de transformadores; no sólo a una entrada de señal sinusoidal. Además, debe recordarse que la respuesta de frecuencia (sinusoidal) es solo una de las aplicaciones de la función de transferencia.

Serie de Fourier : una señal de tiempo periódica se ve como una suma infinita de sinusoides (frecuencias discretas, armónicos).

Transformada de Fourier : una señal de tiempo no necesariamente "periódica" se ve como una suma infinita de sinusoides escalados infinitesimales (frecuencias continuas). Suma -> Integral.

Transformada de Laplace : una señal de tiempo no necesariamente "periódica" se ve como una suma infinita de sinusoides exponencialmente escalados infinitesimales (frecuencias continuas).

SUMA:$\sigma$entra en juego cuando se generaliza el concepto de frecuencia a "frecuencia compleja". Cuando escribes$Ae^{kt}$, el exponente debe ser adimensional; de modo que$k$debiera ser${second}^{-1}$. Tenga en cuenta la similitud con "Hertz", es decir, es un tipo de frecuencia. por ejemplo, en$Ae^{2t}$, el$2$es la frecuencia (eventos por segundo) con la que$A$será multiplicado por$e$. La unidad de esta "frecuencia" es Neper/segundo. De este modo

$$s [complex Neper/ second] = \sigma [Neper/second] + j\omega [radians/second]$$ Ahora una función exponencial tiene una frecuencia, aunque difiere del concepto tradicional. En la transformada de Laplace, la $\sigma$es un valor apropiado (pero no el único) para que la integral converja.

Por lo general, uso el dominio de Fourier para analizar una señal y sus componentes de frecuencia. En el dominio de Fourier puedes hacer trucos para manipular la señal (como multiplicar por una función de paso para hacer un filtro LP o HP o BP). Aunque la última vez que me enfrenté a esto, solo hice la convolución de la señal contra una función sinc (más fácil de escribir en un programa y más rápido).

El dominio de Laplace se usa más para el análisis de sistemas y la teoría de control. Por lo general, comenzará con la versión transformada -> como un capacitor es Z = 1/(sC). Y una vez que haya descubierto la función de transferencia de todo su sistema, puede ver cómo responde a las entradas (a menudo hará un barrido de frecuencia o un diagrama de Nyquist).

Estos conceptos no son mutuamente excluyentes. Creo que Fourier es un caso específico del caso de Laplace más generalizado (corríjame si me equivoco o elabore según sea necesario porque realmente no recuerdo este punto).