Respuesta de estado estacionario y función de transferencia

No exactamente,$H(s)X(s)$es la respuesta a la señal$X(s)$si el sistema está inicialmente en reposo, es decir, con condiciones iniciales "cero".

Puedes entender esto de la siguiente manera. Un sistema LTI se puede describir en el dominio del tiempo mediante una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes como la siguiente:

$a_ny^{(n)}(t) + a_{n-1}y^{(n-1)}(t) + \dots + a_1y^{(1)}(t) + a_0y(t) = b_mx^{(m)}(t) + b_{m-1}x^{(m-1)}(t) + \dots + b_1x^{(1)}(t) + b_0x(t)$

Teniendo en cuenta la propiedad de diferenciación de la transformada de Laplace unilateral:

$L\{D[q(t)]\} = sQ(s) - q(0^-) \qquad\qquad \text{where} ~~ Q(s) = L\{q(t)\}$

puede tomar la transformada L de ambos miembros de la ecuación diferencial y obtiene la siguiente ecuación en el dominio s:

$a_ns^nY(s) + a_{n-1}s^{(n-1)}Y(s) + \dots + a_1sY(s) + a_0Y(s) + R(s) = b_ms^mX(s) + b_{m-1}s^{(m-1)}X(s) + \dots + b_1sX(s) + b_0X(s) + K(s)$

Dónde$R(s)$es una expresión polinomial en$s$donde los coeficientes son combinaciones de las derivadas de$y$calculado en$0^-$(este término proviene del$q(0^-)$en la propiedad de diferenciación). Análogamente$K(s)$es un polinomio cuyos coeficientes son combinaciones de$x$calculado en$0^-$.

Si factorizas$X(s)$y$Y(s)$en la ecuación transformada y luego aislar$Y$obtiene lo siguiente, que es una expresión para la respuesta completa (estado cero + entrada cero):

$Y(s) = \dfrac {b_ms^m + b_{m-1}s^{m-1}+\dots+b_0} {a_ns^n + a_{n-1}s^{n-1}+\dots+a_0} X(s) + \dfrac{K(s)-R(s)}{a_ns^n + a_{n-1}s^{n-1}+\dots+a_0}$

El primer término es$H(s) X(s)$y le da la respuesta completa del sistema cuando es excitado por$x(t)$cuando su estado inicial es "cero" (es decir, no hay energía almacenada en casquillos e inductores, si hablamos de circuitos eléctricos), el otro término representa la parte de la respuesta transitoria debida a la energía almacenada en el sistema en el tiempo 0.

Nótese que esto último depende de los valores en$0^-$de y, x y sus derivadas. Desde un circuito POV, estos valores están relacionados con las condiciones iniciales del circuito: corrientes en los inductores y voltajes a través de las tapas.

Tomemos como ejemplo simple un circuito RC como el siguiente:

del KVL y la ley de Ohm tenemos:

$v(t) = R i(t) + v_c(t)$

pero la relación vi para el capacitor nos dice que

$i(t) = C \dfrac{dv_c(t)}{dt}$

Así tenemos la siguiente ecuación diferencial para el circuito:

$v(t) = R C \dfrac{dv_c(t)}{dt} + v_c(t)$

Dónde$v$es la excitación (x) y$v_c$es la respuesta desconocida (y). Si ahora aplicamos la transformada L a ambos lados, obtenemos:

$V(s) = R C \left[ sV_c(s) - v_c(0^-) \right] + V_c(s) = (R C s + 1 ) V_c(s) - R C v_c(0-)$

que, después de simples pasajes, se convierte en:

$V_c(s) = \dfrac{1}{R C s + 1} V(s) + \dfrac{RC v_c(0^-)}{R C s + 1}$

Si el sistema es estable, entonces se puede usar Y(s) = H(s)X(s) en todo momento. Esto significa que si conoce la función de transferencia del sistema subyacente, para una entrada determinada puede calcular una salida simulada del sistema. En el ejemplo que usó, la razón por la que obtiene la respuesta de estado estable de esa manera es porque la magnitud de la función de transferencia H(s) se define como la ganancia del sistema.