¿Determinar la existencia de la función de transferencia H(s) y la transformada de Fourier H(w) para sistemas que no son LTI?

Dado que

y ( t ) = porque ⁡ ( 2 π t ) X ( t )
dónde X ( t ) es una entrada del sistema y y ( t ) es la salida del sistema, necesito determinar si un H ( s ) / H ( w ) existe relacion. Dado que este sistema no es LTI, realmente no sé cómo abordarlo. No puedo aplicar una Transformada de Laplace incluso cuando se convierte a forma polar, y estoy perdido.

En otro caso de un sistema que no es LTI que causa dolores de cabeza, logré determinar que

h ( t ) = pecado ⁡ ( 10 π t ) π t
(o 10 sincronizar ⁡ ( 10 π t ) si lo prefiere), y por lo tanto creo que es la transformada de Fourier H ( w ) debe ser un escalón unitario centrado en 10 π , pero no sé cómo determinar si este formulario tiene o no una transformada de Laplace (es decir, H ( s ) ). Ciertamente no lo veo como un formulario estándar en ninguna de las tablas de Laplace Transform con las que me he encontrado.

Cualquier puntero en la dirección correcta sería muy apreciado.

¿Es algún tipo de problema que te ha dado un profesor o es tu propia curiosidad? Hasta donde yo sé, la relación de E/S simple que ofrecen las transformaciones L solo se puede obtener para los sistemas LTI. Esto se debe a que Y(s)=H(s)X(s) se deriva de aplicar la LT a una integral de convolución en el dominio del tiempo, es decir, la convolución entre x(t) y h(t), donde h es la respuesta al impulso de la LTI. En otras palabras, este tipo de relación es consecuencia de que el sistema sea lineal. No conozco una técnica similar para sistemas no lineales.
Por cierto, su sistema es un modulador, por lo que podría aplicar las propiedades de la transformada de Fourier para resolver el problema. Descomponga la función cos como dos funciones exponenciales complejas...
Es un problema de revisión para refrescar el material que cubrí anteriormente en mi licenciatura. Reconozco la forma como una simple modulación coherente, pero no estaba seguro de cómo relacionar la entrada/salida más allá de lo trivial. Su respuesta a continuación es muy útil, ¡gracias!

Respuestas (1)

Su sistema es un modulador.

Desde porque ⁡ ( 2 π F 0 t ) = mi j 2 π F 0 t + mi − j 2 π F 0 t 2 sigue ( F 0 = 1 ):

y ( t ) = porque ⁡ ( 2 π t ) X ( t ) = mi j 2 π F 0 t + mi − j 2 π F 0 t 2 X ( t ) = 1 2 X ( t ) mi j 2 π F 0 t + 1 2 X ( t ) mi − j 2 π F 0 t

Dada la siguiente propiedad de la transformada de Fourier:

F { X ( t ) mi j 2 π F 0 t } = X ( F − F 0 )

Transformando con Fourier y(t) da:

Y ( F ) = 1 2 X ( F − F 0 ) + 1 2 X ( F + F 0 ) = 1 2 X ( F − 1 ) + 1 2 X ( F + 1 )

¿Determinar la existencia de la función de transferencia H(s) y la transformada de Fourier H(w) para sistemas que no son LTI?
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