La relación entre hamiltoniano y energía

Ejemplo. Aceleración gravitatoria dependiente del tiempo ($H=E$pero$\dot E \neq 0$)

Considere una partícula que cae bajo la influencia de la gravedad cerca de la superficie de un gran planeta esféricamente simétrico. Suponga que la masa del planeta cambia con el tiempo, de modo que la aceleración debida a la gravedad cerca de la superficie es una función$g(t)$de tiempo. Entonces el lagrangiano es

$$L(t, z, \dot z) = \frac{1}{2}m\dot z^2 - mg(t)z$$ entonces el momento canónico conjugado a $z$es $$p_z = \frac{\partial L}{\partial\dot z} = m\dot z$$ y el hamiltoniano es $$H = p_z\dot z - L = \frac{p_z^2}{2m} +mg z$$ Nótese que en este caso $H(t) = E(t)$; el hamiltoniano es igual a la energía total. Ahora, en este caso, las ecuaciones de movimiento son $$\dot p_z(t) = -mg(t)$$ Así que para cualquier solución $z(t)$a las ecuaciones de movimiento, tenemos $$\dot E(t) = p_z\dot p_z + m(\dot gz + g\dot z) = p_z(\dot p_z + mg) + m\dot g z = m\dot g z\neq 0$$ La energía total no se conserva, cambia en función del tiempo debido a que la aceleración gravitacional depende del tiempo.