Ayuda con mi tensión tensora; ¿Cómo derivar y calcular este par de gradiente de gravedad de cuerpo rígido?

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Ayuda con mi tensión tensora; ¿Cómo derivar y calcular este par de gradiente de gravedad de cuerpo rígido?

Espacio
Física
Matemáticas
mecánica-orbital
actitud-determinación-y-control

UH oh

Los tensores me ponen tenso.

Imagina una varilla larga y delgada en una órbita circular. El gradiente de gravedad producirá un par neto en la barra siempre que no esté orientada paralela o perpendicular al radio vector (apuntando hacia arriba/abajo o apuntando hacia adelante/atrás). Mantengamos el problema en 2D e ignoremos las orientaciones fuera del plano.

El video 1 de Coursera: Gravity Gradient Torque Development del curso de la Universidad de Colorado Boulder Kinetics: Studying Spacecraft Motion impartido por Hanspeter Schaub incluye lo siguiente:

L_{GRAMO} = \frac{3 GRAMO {METRO}_{mi}}{R_{C}^{5}} R_{C} \times [I] R_{C},

$L_G = \frac{3 GM_E}{R_C^5} \mathbf{R_C} \times [I] \mathbf{R_C},$

que proviene de una expansión de primer orden del gradiente de gravedad local.

Él explica que en este punto (sobre 16:30) necesitas detenerte y pensar en sistemas de coordenadas y marcos, ¡y ahí es cuando empiezo a sentir que este tipo primero baja el volumen!

Para una barra infinitamente delgada en 2D, supongo que el momento del tensor de inercia es solo

I = [\begin{matrix} \frac{1}{12} metro {yo}^{2} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] .

$I = \begin{bmatrix} \frac{1}{12}ml^2 & 0\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix}.$

¿Ahora que? necesito conseguir un $\sin(2\theta)$ de alguna manera para que el par sea cero tanto a 0 como a 90 grados. ¿Qué tipo de multiplicación mágica tensorial puede llevarme allí?

La primera edición de SMAD ofrece:

\frac{3 m}{R_{0}^{3}} {tu}_{mi} \times (I \cdot {tu}_{mi})

$\frac{3 \mu}{R_0^3} \mathbf{u_e} \times (\mathbf{I} \cdot \mathbf{u_e})$

dónde $\mathbf{u_e}$ es el vector unitario hacia el nadir. Parece ser esencialmente lo mismo, pero con el tensor matemático mágico que induce la tensión escrito de manera ligeramente diferente. El producto punto entre dos vectores da un escalar, pero aquí no sé qué hacer.

En cada caso $\mathbf{R_C}$ o $\mathbf{R_0}$ son desde el centro de la Tierra hasta el centro de masa de la barra.

Pregunta: ¿Cómo derivaría esa expresión para el torque en términos de un ángulo? $\theta$ que hace la varilla con respecto al nadir, tal que el par tiene una $\sin(2\theta)$ término, usando mi momento de inercia 2D simple?

¡Por favor, no aproximaciones de ángulos pequeños!

Captura de pantalla

SMAD primera edición

UH oh

posiblemente útil? veo un

\sin (2 θ)

$\sin(2\theta)$ en la ecuación A.16 aquí pero me he quedado sin fuerzas...

UH oh

@Paul Es de la intuición. Sé que tiene que estar ahí por simetría.

Pablo

Pista: recuerda que

s i n (2 θ) = 2 s i n (θ) c o s (θ)

$sin(2\theta)=2sin(\theta)cos(\theta)$ . Todo lo demás debería ser sencillo desde ese apéndice vinculado.

UH oh

@Paul Me gustaría conectar los puntos. En este momento no entiendo cómo escribir la multiplicación del tensor con el vector a su derecha, obtener un nuevo vector y luego terminar con la trigonometría. No he hecho este tipo de cosas en varias décadas.

Pablo

Multiplicar un tensor de rango 2 por un vector no es diferente de multiplicar una matriz por un vector. Los términos trigonométricos provienen de las rotaciones de Euler en la fórmula del momento de torsión. Recuerda: ¡la actitud lo es todo!

Pablo

¿De qué libro es este apéndice? Hay algo que simplemente no se ve bien en su definición de

R

$R$ .

Pablo

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Respuestas (1)

Ayuda con mi tensión tensora; ¿Cómo derivar y calcular este par de gradiente de gravedad de cuerpo rígido?

posiblemente útil? veo un $\sin(2\theta)$ en la ecuación A.16 aquí pero me he quedado sin fuerzas...
@Paul Es de la intuición. Sé que tiene que estar ahí por simetría.
Pista: recuerda que $sin(2\theta)=2sin(\theta)cos(\theta)$ . Todo lo demás debería ser sencillo desde ese apéndice vinculado.
@Paul Me gustaría conectar los puntos. En este momento no entiendo cómo escribir la multiplicación del tensor con el vector a su derecha, obtener un nuevo vector y luego terminar con la trigonometría. No he hecho este tipo de cosas en varias décadas.
Multiplicar un tensor de rango 2 por un vector no es diferente de multiplicar una matriz por un vector. Los términos trigonométricos provienen de las rotaciones de Euler en la fórmula del momento de torsión. Recuerda: ¡la actitud lo es todo!
¿De qué libro es este apéndice? Hay algo que simplemente no se ve bien en su definición de $R$ .

litografía · Answer 1

Dejar $\theta$ Sea el ángulo entre la dirección de la varilla y la dirección hacia la Tierra, medido en sentido antihorario. Luego, en el sistema de coordenadas que usaste para escribir $I$ como

[\begin{matrix} \frac{1}{12} metro {yo}^{2} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}],

$\begin{bmatrix} \frac{1}{12}ml^2 & 0\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix},$

R_{C}

$\mathbf{R_C}$ tiene la forma

(\begin{matrix} R_{C} porque θ \\ R_{C} pecado θ \end{matrix}) .

$\left(\begin{array}{c} R_C\cos\theta \\ R_C\sin\theta\end{array}\right).$ Entonces

I R_{C}

$I\mathbf{R_C}$ se obtiene por multiplicación de matrices:

I R_{C} = (\begin{matrix} \frac{1}{12} metro {yo}^{2} R_{C} porque θ \\ 0 \end{matrix}),

$I\mathbf{R_C} = \left(\begin{array}{c} \frac{1}{12}ml^2R_C\cos\theta \\ 0\end{array}\right),$ y el producto cruz es

R_{C} \times I R_{C} = - R_{C} pecado θ \cdot \frac{1}{12} metro {yo}^{2} R_{C} porque θ = - \frac{1}{24} metro {yo}^{2} R_{C}^{2} pecado 2 θ .

$\mathbf{R_C}\times I\mathbf{R_C} = - R_C\sin\theta\cdot \frac{1}{12}ml^2R_C\cos\theta = -\frac{1}{24}ml^2R_C^2\sin 2\theta.$ (Estrictamente hablando, el producto vectorial es un vector tridimensional, pero si nos restringimos a un plano, entonces este vector siempre es perpendicular a este plano, por lo que podemos verlo como un escalar).

Y el resultado final es

L_{GRAMO} = - \frac{GRAMO {METRO}_{mi} metro {yo}^{2}}{8 R_{C}^{3}} pecado 2 θ .

$L_G = -\frac{GM_Eml^2}{8R_C^3}\sin 2\theta.$

¡Eso es excelente! Probablemente me disparé en el pie al tratar de convertir un problema 3D en 2D, en lugar de dejar algunos ceros. ¡Muchas gracias!
¿Es realmente cierto que la aceleración angular instantánea de la varilla delgada es independiente de la longitud (a primer orden), y solo $\ddot{\theta} = \dot{\omega} = -(3GM_E/2R_C^3)\sin(2\theta)$ ? Eso alcanza un máximo de aproximadamente 0,4 grados/minuto^2 a 45 grados; ¡eso es muy bonito!

Ayuda con mi tensión tensora; ¿Cómo derivar y calcular este par de gradiente de gravedad de cuerpo rígido?

UH oh

UH oh

UH oh

Pablo

UH oh

Pablo

Pablo

Pablo

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UH oh

UH oh

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