He estado buscando en Internet una estimación de la posición relativa entre dos satélites. Sin embargo, todas las fuentes parecen apuntar a métodos utilizados para operaciones de proximidad, donde las matemáticas desarrolladas suponen que la distancia relativa entre los satélites es muy pequeña en comparación con el radio de su órbita.
¿Cómo podría comenzar a desarrollar las ecuaciones de movimiento para la posición relativa entre dos satélites (digamos, por simplicidad, geoestacionarios)?
Aquí está la respuesta de un físico teórico a este problema (ver más abajo lo que quiero decir con esto). Esto debería ser adecuado para controlar las posiciones relativas de los satélites cuando están distantes entre sí, y cuando el tiempo después de alguna posición y velocidad conocidas de los satélites no es demasiado largo.
En primer lugar hacer algunas suposiciones:
El segundo de estos es probablemente lo suficientemente cierto: ninguno de los otros será el caso si desea respuestas realmente buenas.
Entonces, OK, entonces la órbita de cualquier satélite simplemente involucra resolver el problema newtoniano de dos cuerpos para la gravedad , que se hizo hace mucho tiempo, y para el cual existe una solución de forma cerrada. Dado que se supone que la Tierra es muy masiva en comparación con los satélites, el baricentro del sistema puede tratarse como el centro de la Tierra.
Si conocemos la posición y la velocidad de un satélite en relación con la Tierra en cualquier momento, ahora podemos usar la solución de forma cerrada para decirnos su órbita en todo momento. Y podemos hacer eso para cualquier número de satélites.
El problema de conocer las posiciones relativas ahora se convierte en calcular el vector de un satélite a otro. Las posibilidades son la forma natural de resolver el problema de la órbita utilizando coordenadas esférico-polares basadas en el centro de la Tierra: para hacer que el cálculo del vector de un satélite a partir de otro sea simple, lo obvio es cambiar a coordenadas cartesianas basadas en el centro de la Tierra (o, mejor, en uno de los satélites), con lo cual los vectores relativos simplemente desaparecen. La transformación de coordenadas de polares esféricas a cartesianas tiene una forma cerrada, por supuesto, así que todo esto tiene una forma cerrada, y hemos terminado.
Bien, dije que esa era la respuesta del físico teórico. En particular, hice un montón de suposiciones de 'vaca esférica', ninguna de las cuales es cierta. En la vida real, la distribución de la masa de la Tierra no es del todo esférica (o incluso constante en el tiempo), la Luna y otros cuerpos perturban las órbitas, los satélites no orbitan en el vacío completo, etc. Eso significa que el cálculo de las órbitas reales (órbitas lo suficientemente buenas para cosas como la predicción de colisiones, etc.) involucrará perturbaciones de las órbitas ideales discutidas anteriormente y probablemente solo enfoques numéricos peludos con datos que se introducen de vez en cuando desde las posiciones observadas del objetos. Nada de esto tendrá respuestas cerradas en general.
Sin embargo, si asume que tiene alguna herramienta, probablemente numérica, que le dice dónde están los satélites, entonces, en base a eso, es bastante fácil calcular las posiciones relativas. Lo que sabe es dónde están los satélites y el sistema de coordenadas donde se expresa esa información, por lo que lo que debe poder hacer es cambiar las coordenadas a un sistema de coordenadas cartesiano adecuado basado en uno de los satélites, en el que los vectores de posición simplemente son las coordenadas del otro satélite.
Fantasma silencioso