Ayuda con la Gravedad Newtoniana como caso Límite de la Relatividad General

Al hacer la teoría de la perturbación en GR, es costumbre definir una métrica de seguimiento invertido$\bar{h}$y elegir un cierto calibre, por ejemplo$\partial^\mu \bar{h}_{\mu \nu} = 0$, de modo que las ecuaciones de Einstein se reducen a$\partial^\rho \partial_\rho \bar{h}_{\mu \nu} = -16 \pi T_{\mu \nu}$.

Sabe que necesita hacer algunas suposiciones con respecto a sus fuentes de materia: para el límite newtoniano, asume que su materia no es relativista (es decir, casi estacionaria), de modo que$T_{\mu \nu} << T_{0 0}$, y de las ecuaciones de campo linealizadas, lo mismo vale para$\bar h_{\mu \nu}$(es decir$\bar h_{0 0} >> \bar h_{ij}$).

Por lo tanto, para la traza obtenemos$h= - \bar{h} = - \eta^{\mu \nu} \bar{h}_{\mu \nu} = \bar{h}_{00} + \mathrm{small}$.

Pero también tenemos$h_{i j} = \bar{h}_{ ij} - \frac{1}{2} \eta_{ij} \bar{h}$(de invertir la definición de la métrica de seguimiento invertido), y por lo tanto$h_{ij} = - 2 \Phi \delta_{ij}$. (usando eso$h_{00} = - 2 \Phi$es equivalente a$\bar{h}_{00} = 2 h_{00} = -4 \Phi$, de la definición de la métrica de seguimiento invertido).