Anti-isomorfismos

Estas preguntas se relacionan con la siguiente construcción:

Dejar$(G,\cdot)$ser un grupo Defina su opuesto $G^{op}$ser el grupo$(G,*)$donde definimos

$$x*y=y\cdot x.$$

Se puede comprobar que esto efectivamente forma un grupo. Entonces, un antihomomorfismo$f:G\rightarrow H$es exactamente un homomorfismo$G\rightarrow H^{op}$o, equivalentemente, un homomorfismo$G^{op}\rightarrow H$.$^1$Esencialmente, todos sus resultados se derivan del hecho de que los antihomomorfismos son homomorfismos: su dominio es justo lo contrario de lo que está marcado.

En cierto sentido, un antiisomorfismo es lo mismo que un isomorfismo normal. Esto es porque$G$y$G^{op}$son siempre isomorfos - el mapa$f:G\rightarrow G^{op}$definido por$f(g)=g^{-1}$es un isomorfismo.$^2$Así, si$G$y$H$son antiisomorfos, en realidad son isomorfos (y viceversa).

$^1$Se podría observar que un homomorfismo$G^{op}\rightarrow H^{op}$es también un homomorfismo$G\rightarrow H$y viceversa.

$^2$Esto se sigue fácilmente ya que$f(g\cdot h)=(g\cdot h)^{-1}=h^{-1}\cdot g^{-1}=f(h)\cdot f(g)=f(g)*f(h)$. Obviamente, esto es biyectivo ya que la inversión es una involución.

Se puede usar un antihomomorfismo, por ejemplo, para convertir una acción de grupo de izquierda en una acción de grupo de derecha.

Es dual a la noción de homomorfismo: si vemos los grupos como categorías con un objeto, entonces los homomorfismos son funtores covariantes, los antihomomorfismos son funtores contravariantes. Por lo tanto, es muy natural que las dos nociones sean muy similares.

Como Daniel mencionó en su respuesta, bajo la identificación de un grupo con un grupoide con un objeto, los homomorfismos de grupo son funtores y los antihomomorfismos son funtores contravariantes.

Bajo esta identificación, grupo dado$G$(un grupoide con un objeto), una acción izquierda de$G$en un objeto$X$en alguna categoría$\mathsf{C}$es un funtor$\lambda: G \to \mathsf{C}$con$\lambda(1_G)=1_X$. Dualmente, una acción correcta de$G$en$X$es un funtor contravariante$\rho: G^{\mathrm{op}} \to \mathsf{C}$con$\rho(1_G)=1_X$.

Así, los homomorfismos de grupo aparecen cuando se quiere considerar acciones de izquierda y los antihomomorfismos aparecen cuando se quiere considerar acciones de derecha. Entonces, si quiere ver dónde aparecen los antihomomorfismos, solo piense dónde aparecen las acciones correctas. En la geometría de Klein, por ejemplo, el fibrado principal de Cartan$G \to G/H$tiene una acción de derecho canónico por$H$.

Afortunadamente, el inverso del grupo da un anti-isomorfismo$G^{\mathrm{op}} \xrightarrow{\cong} G$de un grupo con su grupo opuesto, por lo que siempre podemos convertir acciones correctas en acciones izquierdas y viceversa precomponiendo con el grupo inverso.

Para obtener más detalles, consulte Álgebra de Aluffi: Capítulo 0 .

A veces los antiisomorfismos surgen de forma natural: el mapa$g\to g^t$en$GL_n(\mathbb{R})$o$g\to g^\dagger$en$GL_n(\mathbb{C})$, Por ejemplo. Puedes interpretar un anti-homomorfismo$G \to H$como un homomorfismo$G \to H^{\text{op}}$, sin embargo, donde$H^{\text{op}}$es el grupo con el mismo conjunto subyacente que$H$y operación de grupo$x.y = yx$. Sin embargo, el tema no es particularmente interesante, ya que el mapa$H \to H^{\text{op}}$dada por$x \to x^{-1}$es un isomorfismo. Sin embargo, para anillos (no conmutativos), la situación es más interesante: los anillos$A$y$A^{\text{op}}$no son necesariamente isomorfos.

Lo siento si esto ya se ha escrito en la respuesta de alguien, pero vale la pena señalar que realmente no necesita antihomomorfismos entre grupos. Dado un anti-homomorfismo$f : G \rightarrow H$, la función$g \mapsto (f(g))^{-1} = f(g^{-1})$es automáticamente un homomorfismo ordinario$G \rightarrow H$, y este proceso es biyectivo y establece una biyección entre antiisomorfismos e isomorfismos ordinarios. Básicamente, siempre que tomemos el antiisomorfismo "fundamental"

La situación cambia si tratamos con monoides, en cuyo caso los anti-homomorfismos se vuelven un poco más útiles. En este contexto, también pueden denominarse "funtores contravariantes" en el sentido de la teoría de categorías, ya que un monoide es solo una categoría con un objeto. Y, al igual que en la teoría de categorías, podemos reemplazar cada funtor contravariante$\mathbf{C} \rightarrow \mathbf{D}$con un funtor covariante$\mathbf{C}^{op} \rightarrow \mathbf{D}$y viceversa, también podemos hacer esto en el mundo de los monoides. No obstante, personalmente creo que los antihomomorfismos de categorías/monoides son bastante útiles; es más fácil pensar con claridad cuando no estás introduciendo operaciones en todas partes para obligar artificialmente a todo lo que está a la vista a ser covariante.

Esos son mis dos centavos.