¿Qué número mínimo (A) se puede tomar para que (A)^N sea mayor que el producto de N números?

La media geométrica lo hará: en tu caso tenemos

$\sqrt[6]{2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5} = (2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5)^{\frac{1}{6}} = 4.87603...$entonces, como usted notó,$5^6 > 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5$pero$4^6 < 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5$.

En general, si tomamos$N$números$a_1,..., a_N$luego configurando$b =\sqrt[N]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_N}$tenemos

$$b^N = a_1 \cdot a_2 \cdots a_N$$ y entonces $x^N > a_1 \cdot a_2 \cdots a_N$para cualquier $x>b$

Este es exactamente el trabajo para el$N$-ésima raíz. Se define de la siguiente manera:

El$N$'ésima raíz de un número positivo$x$, escrito$\sqrt[N]x$, es el único número real positivo tal que$(\sqrt[N]x)^N = x$.

En tu ejemplo, queremos la raíz sexta de$13440$. Lo ponemos en una calculadora y obtenemos aproximadamente$4.88$. Esto significa que$4.88^6\approx 13440$, lo que nos dice que$5^6$es más grande, y$4^6$es más pequeño que el producto.