¿Aproximación de Born-Oppenheimer equivalente al producto tensorial?

Si tienes una función de onda Ψ de un sistema que consta de un electrón y los modos de vibración del cristal, ENTONCES representamos la función de onda Ψ estar en el Espacio de Hilbert formado por el producto tensorial de los espacios de Hilbert correspondientes al electrón con el Espacio de Hilbert correspondiente a los modos vibratorios si y sólo si no hay una interacción instantánea entre los electrones y los modos vibratorios; En primer lugar, esto es cierto, ¿verdad?

La técnica de aproximación de Born-Oppenheimer nos dice que podemos escribir la función de onda Ψ como una función de onda del producto, como un producto de la electrónica ( ϕ ) y modos vibracionales' ( ζ ) funciones de onda. Nosotros escribimos Ψ = ϕ ζ ?

Ahora mi pregunta principal:

¿Es la técnica de aproximación de Born-Oppenheimer equivalente a decir que la representación del Espacio de Hilbert del espacio que Ψ está situado en es el espacio del producto tensorial de las funciones de onda de modo electrónico y vibratorio?

Respuestas (1)

Siempre que se unen dos sistemas cuánticos, el espacio de Hilbert de las funciones de onda del sistema resultante es siempre el producto tensorial de los espacios de Hilbert de las funciones de onda de los sistemas fuente.

Esto no significa que la función de onda total sea siempre un producto de dos funciones de onda de los espacios fuente. En general, el caso se ve así:

Ψ = ∑ i j ϕ i ζ j ( 1 )

Si los sistemas no interactúan, el hamiltoniano total es la suma de los hamiltonianos de los subsistemas:

H ^ Ψ = H ^ ϕ + H ^ ζ
En este caso se puede probar que cualquier producto de los estados propios de los subsistemas es un estado propio del sistema completo. Pero incluso en este caso, la función de onda puede tener la forma (1) porque esta función puede describir cualquier estado del sistema, no solo un estado con energía determinada (que es un estado propio del hamiltoniano).

En la aproximación de Born-Oppenheimer la interacción de los subsistemas es sustancial. La base que consiste en los estados propios (del hamiltoniano) del sistema electrónico depende del estado de la red cristalina. Sin embargo, esto no significa que el espacio de Hilbert de las funciones de onda de los electrones cambie. No perderá ninguna función ni obtendrá otras nuevas.

Así que las respuestas a tus preguntas son:

  1. La función de onda total no está obligada a ser el producto Ψ = ϕ ζ incluso para subsistemas independientes.
  2. El espacio de Hilbert de las funciones de onda totales es siempre el producto tensorial de las de los subsistemas.

Estas preguntas no son equivalentes.

Si entiendo correctamente la pregunta, lo que rg está preguntando es si la aproximación de Born-Oppenheimer implica que la función de onda para un lento X y rápido y el movimiento de dos partículas (o cuasipartículas) es un producto tensorial de la forma Ψ ( X , y ) = ϕ ( X ) ξ ( y ) . La respuesta es que este no es el caso. La aproximación de Born-Oppenheimer sería Ψ ( X , y ) = ϕ ( X ) ξ ( y ; X ) , dónde ξ ( y ; X ) depende de y pero está parametrizado en X , tal que la función cambia para cada valor de X . Por tanto, el movimiento de ambas partículas no es independiente y la función de onda no tiene forma tensorial.
@perplejidad: la pregunta no es solo sobre el producto de funciones sino también sobre el producto de espacios. El producto de los espacios es algo completamente diferente. Las funciones ξ ( y ; X ) representan la base del espacio de Hilbert de las funciones de onda del sistema de electrones. Este espacio es siempre el mismo, digamos conjunto de funciones para las cuales | ξ | 2 es integrable sobre el volumen del cristal. El espacio no cambia excepto algunos casos exóticos cuando cambia el volumen del cristal (esto cambia el dominio de la función). Pero incluso entonces los espacios son isomorfos.
Entiendo esto y su respuesta es clara y correcta. Pero pensé que la pregunta se centraba en la aproximación de Born-Oppenheimer, y esto faltaba en su respuesta general (sobre las propiedades del espacio de Hilbert y las funciones de onda de los sistemas de partículas N). Mi comentario solo intenta poner esto en primera línea.
@MaksimZholudev: No entiendo qué es un producto de los espacios de Hilbert en el caso de dos partículas acopladas con un resorte. ¿Cuáles son las "funciones de onda" de las partículas constituyentes?
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