Estado fundamental de un hamiltoniano adiabático como estado propio del espín total

El ansatz dado incluye dos supuestos.

(1) Los estados fundamentales aproximados se buscan en un subespacio del espacio de Hilbert que consta de versiones rotadas de un solo vector constante. (Este subespacio es un$2$-esfera parametrizada por un vector unitario en$\mathbb{R}^3$

(2) El valor de la proyección de giro en la dirección del vector unitario es la mitad del número de giros.

La explicación es la siguiente:

un sistema de$n$giros distinguibles vidas en un espacio de dimensión de Hilbert$2^n$. Los observables constituyen del conjunto de Hermitian$2^n \times 2^n$matrices que generan$U(2^n)$. Sin embargo, el conjunto de observables tiene otra representación como el álgebra envolvente universal de$SU(2)$, que en la base multipolar que incluye: Los generadores de espín total:

$$S_x = \sum_{i=1}^n \sigma_x^{(i)}$$ $$S_- = \sum_{i=1}^n \sigma_-^{(i)}$$ $$S_+ = \sum_{i=1}^n \sigma_+^{(i)}$$ . Los 5 operadores cuadripolares ( $Q_0, Q_{\pm1}, Q_{\pm2})$, Por ejemplo $$Q_0 = \frac{1}{2}(2S_z^2-S_-S_+)$$ etc. Cuando el número de giros se vuelve muy grande, las correlaciones se escalan por potencias de $\frac{1}{n}$con respecto a los valores medios y el sistema tenderá a comportarse de forma clásica. Consulte la siguiente revisión de Yaffe para obtener más detalles.

Sin embargo, el límite clásico del sistema de espín no es único. Es una órbita conjunta del grupo dinámico generado por el conjunto mínimo de operadores necesarios para distinguir entre los estados del sistema. Por ejemplo, si el espectro del sistema encaja en una representación de$SU(2)$, entonces en el límite clásico , el espacio de fases es una órbita coadjunta de$SU(2)$cual es la dos esfera$S^2$. Este es el ejemplo dado en la pregunta, donde el subespacio activo donde se busca el mínimo del hamiltoniano es$S^2$y los estados correspondientes son versiones rotadas de algún vector. La dinámica cuántica será idéntica a la dinámica clásica en$S^2$. En este caso, los únicos operadores "activos" son los giros totales. Los valores de un conjunto de desplazamiento de estos operadores serán los campos medios. Todos los multipolos superiores serán simplemente funciones clásicas de los campos medios.

Si por el contrario, los operadores cuadripolares están activos, el grupo dinámico en este caso pasará a ser$SU(3)$con$3+5=8$generadores y el espacio de fase clásico será una órbita coadjunta de$SU(3)$que no es único por sí mismo y puede ser el espacio proyectivo complejo$\mathbb{C}P^2$o el colector de la bandera$Fl_3$. En estos casos en general, los generadores de cuadripolos serán independientes de los espines totales y en general recibirán correcciones cuánticas además de las contribuciones clásicas.

En general, el límite de baja energía preferirá órbitas coadjuntas más pequeñas, ya que entonces el hamiltoniano incluirá menos correcciones cuánticas. Además, los autores consideraron un caso en el que el hamiltoniano es lineal en los generadores de espín total, lo que excluye las órbitas coadjuntas superiores.

La segunda parte del ansatz se basa simplemente en el teorema del límite central. Podemos considerar una única componente de espín en la dirección del vector unitario de la esfera como una variable aleatoria clásica porque es la única variable conmutativa (bit clásico). Esta variable aleatoria tiene un promedio de$\frac{0+1}{2} = \frac{1}{2}$y desviación estándar de$\frac{1}{\sqrt{2}}$. El promedio de$n$giros independientes tendrán un promedio de$\frac{1}{2}$y una desviación estándar de$\frac{1}{\sqrt{2n}}$. De ahí su valor en el gran$n$el límite se fijará en$\frac{1}{2}$. Así, el promedio de una suma de$n$los giros se fijarán en:$\frac{n}{2}$.