Encuadernación ajustada más simple

Mi profesor está enseñando el teorema de Bloch, que vi hace muchos años en el libro de texto de Griffiths sobre mecánica cuántica. No puedo reconocerlo en la forma que está usando mi profesor.

Estamos estudiando un modelo de unión fuerte para una cadena unidimensional de átomos. Esto es lo que escribe mi profesor:

Considere una cadena unidimensional de átomos (de sodio), cada uno representado por una carga puntual fija de +1. En la búsqueda de los estados propios de un electrón en interacción con estas cargas recurrimos a una base de un orbital tipo s por átomo, que llamaremos$X$, indicando dónde se encuentra,$X = j a$, con$a$el parámetro de red y$j$un número entero que indica el sitio de la red. Hagamos una aproximación adicional: los elementos de la matriz hamiltoniana se considerarán distintos de cero solo cuando involucren sitios vecinos, la aproximación del vecino más cercano, es decir,$\langle X | H | X \rangle = \varepsilon$y$\langle X +a | H | X \rangle = -t$. Por tanto, la matriz estándar de la hamiltoniana en esta base es tridiagonal:

$$H = \begin{bmatrix} \ddots& \\ &\varepsilon & -t & 0 \\ &-t& \varepsilon & -t & \\ & 0 &-t&\varepsilon&\\ &&&& \ddots \end{bmatrix}$$ La solución es trivial si construimos los estados de Bloch como combinaciones lineales de los estados base: $$|k\rangle = N^{-1/2} \sum_{X}^N e^{ikX} |X \rangle$$ Para el conjunto base que tenemos, con un solo estado base por celda unitaria, solo hay un estado de Bloch por valor de k. Nuestro hamiltoniano será así una matriz diagonal de bloques con bloques 1x1: ¡Será directamente diagonal!

Tengo algunas preguntas sobre esto:

• ¿Cómo puede mi profesor suponer que si$|k \rangle$es una función de bloque, que existe una fórmula como esta:$|k\rangle = N^{-1/2} \sum_{X}^N e^{ikX} |X \rangle$? El teorema de bloch dice que existe una función$u$que puede asumir el papel de$|X \rangle$en esta suma, si yo (falsamente) asumo que$|X\rangle$es una base ¿Llega a esto de alguna otra manera?
• Mi profesor dice que solo hay un estado de Bloch por valor de k. ¿Es esto para decir que hay exactamente una banda? Si es así, ¿cómo podemos probar esto?