¿Cómo definiremos la acción del operador de inversión de tiempo Θ en un estado sujetador ⟨φ|, es decir, ⟨φ|Θ?

Supongamos que un hamiltoniano H es simétrico en inversión de tiempo: Θ H Θ − 1 = H . Y H se puede descomponer bajo una base completa | k , α ⟩ , es decir H = ∑ k ∑ α , β | k , α ⟩ ⟨ k , β | , y estoy tratando de deducir la forma correspondiente para la simetría de inversión de tiempo de H ( k ) = ∑ α , β | k , α ⟩ ⟨ k , β | . La respuesta debería ser θ · H ( k ) · θ − 1 = H ( − k ) . Sí, este es un resultado general de la física de la materia condensada al tratar el hamiltoniano en el espacio de momento.

Aquí me encontré con el problema de cómo debo tratar ⟨ k , β | θ − 1 . Si solo lo hago igual ⟨ − k , β | se puede deducir el resultado correcto. Pero no me sentí seguro cuando hice esto, especialmente porque sé que entra en conflicto con el tratamiento de Sakurai del operador de inversión de tiempo:

De hecho, ni siquiera intentamos definir ⟨β|Θ. Este es un lugar donde la notación bra-ket de Dirac es un poco confusa. Después de todo, esa notación se inventó para manejar operadores lineales, no operadores antilineales.

- Modern Quantum Mechanics (2nd ed.) por Sakurai, p292

Entonces, ¿es seguro tratar ⟨ ϕ | θ − 1 como el sostén de θ | ϕ ⟩ ? Si no, ¿cómo puedo completar la deducción anterior de una manera más segura?

Leslie E. Ballentine menciona en su libro Quantum Mechanics - A Modern Development que "Messiah (1966) permite que los operadores antilineales actúen hacia la izquierda o hacia la derecha, pero como consecuencia debe advertir a sus lectores que ( ⟨ ξ | A ) | ϕ ⟩ ≠ ⟨ ξ | ( A | ϕ ⟩ ) , y de ahí la expresión común ⟨ ξ | A | ϕ ⟩ se vuelve indefinido". Entonces, Quantum Mechanics de Albert Messiah puede ser de su interés.

Respuestas (1)

La complicación es la siguiente. Normalmente, el sostén ⟨ Θ ψ | (correspondiente al ket Θ | ψ ⟩ ) sería ⟨ ψ | Θ † . el adjunto Θ † de un operador Θ generalmente se define por

⟨ ψ | Θ † | ϕ ⟩ = ⟨ Θ ψ | ϕ ⟩ = ( ⟨ ϕ | Θ ψ ⟩ ) ∗ = ( ⟨ ϕ | Θ | ψ ⟩ ) ∗ .
(Incluí un montón de definiciones equivalentes por conveniencia). Sin embargo, esta definición del adjunto no funciona para operadores antilineales. Esto se debe a que el lado izquierdo de esta ecuación sería antilineal en ψ mientras que las expresiones de la derecha serían lineales en ψ . En cambio, para los operadores antilineales, definimos el adjunto, que denotaré como Θ T , usando
⟨ ψ | Θ T | ϕ ⟩ = ⟨ ϕ | Θ | ψ ⟩ = ⟨ ϕ | Θ ψ ⟩ = ( ⟨ Θ ψ | ϕ ⟩ ) ∗ .
Con esta definición del adjunto, la condición antiunitaria se convierte en Θ T = Θ − 1 . Sin embargo, no está completamente claro qué ⟨ Θ ψ | es. Hay una relación, pero no es tan simple de ver en la notación bra-ket. Tenemos que usar la relación de completitud ∫ d ϕ | ϕ ⟩ ⟨ ϕ | = 1 .
⟨ Θ ψ | = ∫ d ϕ ⟨ Θ ψ | ϕ ⟩ ⟨ ϕ | = ∫ d ϕ ( ⟨ ψ | Θ T | ϕ ⟩ ) ∗ ⟨ ϕ | .
No estoy seguro de si esto se puede simplificar aún más.

¿Cómo definiremos la acción del operador de inversión de tiempo Θ en un estado sujetador ⟨φ|, es decir, ⟨φ|Θ?
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