Descripción matemática de la transformación de Hubbard-Stratonovich

Para un sistema cuántico que interactúa, la transformación de Hubbard-Stratonovich se usa a menudo para desacoplar los términos de interacción en la acción, mediante la introducción de un campo escalar complejo (bosónico). Este campo escalar se acopla, como un potencial, a los campos fermiónicos, de manera que la acción es cuadrática en los campos fermiónicos.

Por ejemplo, en el caso de un sistema superconductor, el espacio de Fock F reducido a W = H ⊕ H ⋆ , dónde H (el llamado espacio de Nambu) es el espacio de Hilbert de una sola partícula y H ⋆ el espacio dual (ver Ref. Clases de simetría de fermiones desordenados por P. Heinzner, A. Huckleberry, MR Zirnbauer).

Sin embargo, este es solo el espacio fermiónico de Hilbert. En el espacio total de Hilbert debe haber también una parte bosónica para el campo escalar. Desde mi punto de vista el espacio de Hilbert completo debe ser igual a:

H Fermión ⊕ H bosón

dónde H Fermión es el espacio de Hilbert de una sola partícula para el campo fermiónico y H bosón el espacio de Hilbert para el campo bosónico.

Mi pregunta es: ¿es esto correcto hasta ahora? Es decir, la transformación de Hubbard-Stratonovich se puede escribir como

F Fermión → H Fermión ⊕ H bosón

Entonces, tal vez una pregunta muy estúpida, pero si esto es correcto, ¿hay una relación con los sistemas supersimétricos? ¿Porque el espacio de Hilbert en el sistema supersimétrico se define como arriba o no?

Respuestas (1)

El espacio de Hilbert basado en la teoría de perturbaciones está en general mal definido en sistemas con interacciones. Precisamente, no ve aparecer estados ligados cuando tenemos en cuenta las propiedades no perturbativas de la teoría. Un ejemplo es el átomo de hidrógeno, que no existe en la teoría de perturbaciones del QED. En dos palabras, el espacio de Hilbert basado en la teoría de la perturbación se define esquemáticamente como

H ingenuo ≃ H gratis ,
dónde H gratis incluye solo estados libres que no interactúan, mientras que el espacio de Hilbert correcto es
(1) H correcto ≃ H gratis ⊕ H estados acotados
El par de Cooper, que es Tu escalar en el superconductor, ya está incluido en ( 1 ) . Esto particularmente responde a su pregunta.

Ahora tenemos que entender el significado de la transformación HS. Para ello tenga en cuenta que normalmente reflejamos la estructura del espacio de Hilbert en la construcción del operador de Lagrange. En la teoría de la perturbación se construye a partir de los campos de creación-destrucción Ψ ^ ( X ) con operadores a ^ † ( pag ) . Se definen de tal manera que sin interacciones el estado de Fock

⟨ 0 | Ψ ^ ( X )
no tiene elementos de matriz distintos de cero con muchos estados de partículas. Pero dado que el espacio de Hilbert se define como la suma directa de todos los estados de Fock posibles, los estados acotados son, por supuesto, invisibles.

Existe una forma sencilla de modificar la teoría para incluir dichos estados acotados (es decir, hacerlos visibles). Supongamos que nuestro estado acotado es aniquilado por el operador Φ ^ ( Ψ ^ ) . Para incluir el estado ligado Φ en la teoría, se puede incluir el término lagrangiano

(2) L ′ = ( Ψ ^ − Φ ^ ( X ) ) 2 ,
que de hecho es muy similar a la transformación de Hubbard-Stratonovich.

Otra situación aparece cuando hay un valor promedio de vacío distinto de cero ⟨ vacaciones | Φ ^ ( X ) | vacaciones ⟩ . Entonces uno puede tratar Φ ( X ) como el campo externo clásico. La transformación generada por ( 2 ) es así el mapeo de la teoría interactuante a la teoría libre con movimiento en campo externo.

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