He estado tratando de averiguar cómo resolver un escenario particular. Incluso después de tomar un curso de Introducción a la Estadística, no he encontrado una solución. Me disculpo por la complejidad de la siguiente analogía.
Supongamos, por ejemplo, que juegas un juego de dados con las siguientes reglas:
Si saca un 1-2: obtiene un punto, 3-5: no pasa nada, 6: se le proporcionan dos tiradas de dados más con las mismas reglas.
Sacar un 1 o un 2 sumará 1 punto al total de puntos y el dado se descartará del juego.
Sacar un 3, 4 o 5 no tiene efecto. El dado se descarta sin proporcionar más dados para tirar o agregar al total de puntos.
Sacar un 6 da como resultado que el dado se descarte del juego sin otorgar un punto; después de lo cual, el jugador recibe dos dados.
Se proporciona un dado para tirar al comienzo del juego. Como se dijo, después de que se lanza un dado, se descarta del juego.
Solo es posible tirar más de un dado en un juego dado si el dado original cae en 6, en cuyo caso el dado será descartado y el jugador tendrá dos dados para tirar.
Los reintentos (6: lanzamiento) se otorgan independientemente de si se lanzó o no un 6 previamente. En teoría, el juego puede constar de decenas de tiradas, aunque es muy poco probable.
Los dados se lanzan individualmente, independientemente de cuántos haya adquirido el jugador.
El juego termina cuando todos los dados han sido lanzados y descartados. La cantidad de veces que se otorgó un punto (1-2: tirar) dará como resultado el puntaje final.
La forma más eficiente de ganar con un punto es sacar un 1 o un 2 (probabilidad de 1/3). La forma más eficiente de ganar con dos puntos es haciendo rodar la secuencia 6, 1 o 2, 1 o 2 (probabilidad de 1/54).
Lo que no entiendo es la función que brinda la posibilidad de ser recompensado con múltiples oportunidades de repetición, lo que permite un juego que no tiene un número predeterminado de tiradas.
¿Cuál es una fórmula que puedo usar para descubrir la probabilidad de completar el juego con ¿puntos? Me gustaría ver cómo se hace esto.
Si esta analogía no tiene suficiente sentido, haré todo lo posible para aclararla.
Un enfoque es usar funciones generadoras, usando el hecho de que con un solo dado tienes una probabilidad de cero puntos, una probabilidad de un punto y una probabilidad de de dos nuevos dados cada uno con la misma función generadora.
Entonces creo que tienes
El primero de ellos acabará generando una probabilidad de cero puntos de , por lo que puede ser rechazado como espurio, mientras que el segundo tiene una serie de Taylor que parece
y eso sugiere que la probabilidad de cero puntos al final del juego es de aproximadamente , de un punto sobre , de dos sobre , de tres sobre , de cuatro sobre , cayendo rápidamente.
Agregado Aquí hay una simulación en R, lo que sugiere que esto es plausible:
set.seed(1)
maxn <- 100000
score <- numeric(maxn)
for (n in 1:maxn){
dice <- 1
points <- 0
while (dice > 0){
roll <- sample(6,1)
if (roll <= 2){ points <- points + 1 }
if (roll == 6){ dice <- dice + 2 }
dice <- dice - 1
}
score[n] <- points
}
table(score)/maxn
# score
# 0 1 2 3 4 5 6 7
# 0.55086 0.40832 0.03373 0.00562 0.00104 0.00034 0.00008 0.00001
Enrique
Stan LW