Aplicación honesta de la teoría de categorías

Question

Aplicación honesta de la teoría de categorías

gran lista
Matemáticas
aplicaciones
teoría de categorías

Martín Brandeburgo

Creo que la teoría de categorías es una de las teorías más fundamentales de las matemáticas y se está convirtiendo también en una teoría fundamental para otras ciencias. Nos permite comprender muchos conceptos en un nivel superior y unificado. Los métodos categóricos son generales, pero, por supuesto, se pueden aplicar a categorías específicas y, por lo tanto, nos ayudan a resolver problemas específicos. No estoy pidiendo aplicaciones canónicas en las que se utilice la teoría de categorías. He leído todas las respuestas a preguntas similares de matemáticas.SE sobre aplicaciones de la teoría de categorías, pero no se ajustan a mi pregunta a continuación. Me gustaría preguntar por las aplicaciones de las nociones.de "categoría", "functor" y "transformación natural" (quizás también "límite" y "adjunción"), que van más allá de las descripciones, pero realmente resuelven problemas específicos de una manera elegante. Conozco muchas, muchas demostraciones de teoremas que tienen mejoras en la teoría de categorías, en particular mediante el lema de Yoneda, pero tampoco busco este tipo de aplicaciones. Entonces mi pregunta es (aunque sé que esta no es la tarea de la teoría de categorías):

¿Puedes nombrar un teorema específico y bastante fácil de entender, cuyo enunciado naturalmente no contenga ninguna noción categórica, pero cuya demostración introduzca una categoría / funtor / transformación natural adecuada de manera crucial y utilice alguna teoría básica de categorías? La demostración no debería depender únicamente de una gran teoría (como la geometría aritmética) cuyo desarrollo ha utilizado la teoría de categorías durante décadas. La prueba no debe ser simplemente una versión categórica de una prueba que ya se conocía.

Así que aquí hay un ejemplo de este tipo, tomado del maravilloso artículo de Hartig "The Riesz Representation Theorem Revisited", y espero que haya más de ellos: Sea $X$ ser un espacio compacto de Hausdorff, $M(X)$ el espacio de Banach de Borel mide en $X$ y $C(X)^*$ el dual del espacio de Banach de funciones continuas en $X$ . La integración proporciona una isometría lineal.

α (X) : METRO (X) \to C (X)^{*}, m \mapsto (F \mapsto \int F d m) .

$\alpha(X) : M(X) \to C(X)^*, ~ \mu \mapsto \bigl(f \mapsto \int f \, d\mu\bigr).$ El teorema de representación de Riesz afirma que esto es un isomorfismo. Para la prueba "categórica", observe primero que los mapas

α (X)

$\alpha(X)$ son en realidad naturales, es decir, proporcionan una transformación natural

α : M \to C^{*}

$\alpha : M \to C^*$ . Usando la naturalidad y hechos del análisis funcional como el Teorema de Hahn-Banach, uno muestra que si

X

$X$ satisface la afirmación y admite un mapa sobreyectivo para

Y

$Y$ , entonces

Y

$Y$ satisface la pretensión. Dado que todo espacio compacto de Hausdorff es el cociente de un espacio extremadamente desconectado, a saber, la compactación de Stone-Cech de su conjunto subyacente, podemos suponer que

X

$X$ es extremadamente desconectado. Ahora aquí viene la matemática real, y solo diré que hay suficientes subconjuntos abiertos que te permiten construir suficientes funciones continuas. El caso general se ha reducido a uno muy fácil, utilizando el concepto de transformación natural.

Mariano Suárez-Álvarez

Me sorprendería si en ese ejemplo, la dificultad del caso especial no es exactamente la misma que la general. ¿No son las «suficientemente muchas funciones continuas» proporcionadas por la propiedad de normalidad de los espacios compactos? (¡Tenga en cuenta que incluso para tener una compactación SC sensible, ya necesita tener muchas funciones!)

Mariano Suárez-Álvarez

Ese tipo de argumento generalmente se encuentra en la forma de un ejemplo universal , y el ejemplo universal rara vez es más simple que cualquiera de las instancias específicas.

Martín Brandeburgo

@MarianoSuárez-Alvarez: Bueno, te sorprenderás si lees el artículo de Hartig :). Los ejemplos universales tienen la ventaja de ser más simples. Por ejemplo,

Z [x]

$\mathbb{Z}[x]$ es el ejemplo universal de un anillo que contiene un elemento, y este anillo resulta ser un

2

$2$ Dominio integral factorial -dimensional, que es muy agradable en comparación con otros anillos. De manera similar: en geometría algebraica, trabajar en espacios de módulos suele ser más simple que trabajar con todos los puntos especiales.

J126

No es tan específico como podría desear, pero la solución del polinomio quíntico y la teoría de Galois conducen a categorías poset y funtores entre ellas.

Mariano Suárez-Álvarez

Los ejemplos universales no necesitan ser más simples; mientras que a veces lo son, a veces no lo son.

Martín Brandeburgo

@ JoeJohnson126: De hecho, el teorema principal de la teoría de Galois es realmente una declaración sobre un complemento ("conexión de Galois" en el caso de las categorías poset) y sus objetos fijos. La teoría de categorías es bastante útil para organizar esto, pero en realidad no es una aplicación de la noción de una adjunción entre categorías, porque estaríamos bien con la conexión de Galois, ¿verdad? La generalización de Grothendieck de la teoría de Galois, a su vez, es una equivalencia de categorías (no solo categorías poset), por lo que aquí las categorías ya aparecen en el enunciado del teorema.

tom hirschowitz

¿Qué tal los 'Argumentos diagonales y categorías cerradas cartesianas' de Lawvere? Leí esto hace mucho tiempo, pero iirc Lawvere destaca una abstracción categórica de los argumentos diagonales de Cantor, Russel, Gödel y Tarski, de modo que todo lo que queda por hacer para probar los teoremas considerados es diseñar una codificación que satisfaga algunos axiomas.

Martín Brandeburgo

@TomHirschowitz: este documento es excelente, pero mi pregunta contiene la siguiente restricción: "La prueba no debe ser solo una versión categórica de una prueba que ya se conocía".

tom hirschowitz

@Martin: sí, lo leí, pero pensé que la prueba era más como una versión categórica de cuatro pruebas que ya se conocían. No importa, estás poniendo los límites aquí :)

Martín Brandeburgo

Este tipo de unificación es bastante típico de la teoría de categorías. Incluso hechos triviales como

X \times (Y \times Z) ≅ (X \times Y) \times Z

$X \times (Y \times Z) \cong (X \times Y) \times Z$ porque los productos en una categoría implican hechos sobre grupos, espacios topológicos, órdenes parciales, conjuntos simpliciales, haces, etc. a la vez que no son realmente triviales cuando se apega a la estructura teórica de conjuntos en lugar de la categórica.

Kostya_I

Me cuesta mucho ver cómo su ejemplo (el de Hartig) califica como una aplicación de la teoría de categorías. El único papel de las categorías en el artículo es la observación de que la conmutatividad de un cierto diagrama y la sobreyectividad de un cierto mapa se pueden reformular en la jerga categórica. La gente ha usado felizmente la conmutatividad de algunos diagramas (explícita o implícitamente) durante siglos sin haber oído hablar de ninguna teoría de categorías.

Kostya_I

Además, la respuesta aceptada parece una prueba que se conocía mucho antes de que se concibiera la teoría de categorías, simplemente reformulada usando el término "funcionalidad".

Respuestas (7)

Aplicación honesta de la teoría de categorías

Me sorprendería si en ese ejemplo, la dificultad del caso especial no es exactamente la misma que la general. ¿No son las «suficientemente muchas funciones continuas» proporcionadas por la propiedad de normalidad de los espacios compactos? (¡Tenga en cuenta que incluso para tener una compactación SC sensible, ya necesita tener muchas funciones!)
Ese tipo de argumento generalmente se encuentra en la forma de un ejemplo universal , y el ejemplo universal rara vez es más simple que cualquiera de las instancias específicas.
@MarianoSuárez-Alvarez: Bueno, te sorprenderás si lees el artículo de Hartig :). Los ejemplos universales tienen la ventaja de ser más simples. Por ejemplo, $\mathbb{Z}[x]$ es el ejemplo universal de un anillo que contiene un elemento, y este anillo resulta ser un $2$ Dominio integral factorial -dimensional, que es muy agradable en comparación con otros anillos. De manera similar: en geometría algebraica, trabajar en espacios de módulos suele ser más simple que trabajar con todos los puntos especiales.
No es tan específico como podría desear, pero la solución del polinomio quíntico y la teoría de Galois conducen a categorías poset y funtores entre ellas.
Los ejemplos universales no necesitan ser más simples; mientras que a veces lo son, a veces no lo son.
@ JoeJohnson126: De hecho, el teorema principal de la teoría de Galois es realmente una declaración sobre un complemento ("conexión de Galois" en el caso de las categorías poset) y sus objetos fijos. La teoría de categorías es bastante útil para organizar esto, pero en realidad no es una aplicación de la noción de una adjunción entre categorías, porque estaríamos bien con la conexión de Galois, ¿verdad? La generalización de Grothendieck de la teoría de Galois, a su vez, es una equivalencia de categorías (no solo categorías poset), por lo que aquí las categorías ya aparecen en el enunciado del teorema.
¿Qué tal los 'Argumentos diagonales y categorías cerradas cartesianas' de Lawvere? Leí esto hace mucho tiempo, pero iirc Lawvere destaca una abstracción categórica de los argumentos diagonales de Cantor, Russel, Gödel y Tarski, de modo que todo lo que queda por hacer para probar los teoremas considerados es diseñar una codificación que satisfaga algunos axiomas.
@TomHirschowitz: este documento es excelente, pero mi pregunta contiene la siguiente restricción: "La prueba no debe ser solo una versión categórica de una prueba que ya se conocía".
@Martin: sí, lo leí, pero pensé que la prueba era más como una versión categórica de cuatro pruebas que ya se conocían. No importa, estás poniendo los límites aquí :)
Este tipo de unificación es bastante típico de la teoría de categorías. Incluso hechos triviales como $X \times (Y \times Z) \cong (X \times Y) \times Z$ porque los productos en una categoría implican hechos sobre grupos, espacios topológicos, órdenes parciales, conjuntos simpliciales, haces, etc. a la vez que no son realmente triviales cuando se apega a la estructura teórica de conjuntos en lugar de la categórica.
Me cuesta mucho ver cómo su ejemplo (el de Hartig) califica como una aplicación de la teoría de categorías. El único papel de las categorías en el artículo es la observación de que la conmutatividad de un cierto diagrama y la sobreyectividad de un cierto mapa se pueden reformular en la jerga categórica. La gente ha usado felizmente la conmutatividad de algunos diagramas (explícita o implícitamente) durante siglos sin haber oído hablar de ninguna teoría de categorías.
Además, la respuesta aceptada parece una prueba que se conocía mucho antes de que se concibiera la teoría de categorías, simplemente reformulada usando el término "funcionalidad".

Omar Antolín Camarena · Answer 1

¿La siguiente prueba estándar del teorema del punto fijo de Brouwer para el disco bidimensional $D$ ¿contar?

teorema _ Cualquier mapa continuo $f : D \to D$ tiene un punto fijo.

prueba _ Si $f$ no tenía punto fijo, el mapa $g : D \to \partial D$ dada por $g(x) = \partial D \cap ($ rayo de $f(x)$ a $x)$ sería una retractación de $D$ sobre $\partial D$ , eso es, $g \circ i = 1_{\partial D}$ dónde $i : \partial D \to D$ es la inclusión. Esto implica, por funcionalidad de $\pi_1$ , eso $g_\ast \circ i_\ast = 1_{\pi_1(\partial D)}$ lo cual es imposible ya que $\pi_1(D) = 0$ , $\pi_1(\partial D) = \mathbb{Z}$ .

¡Sí me gusta! Una demostración similar funciona para el $n$ -disco dimensional. Se podría argumentar que aquí entra la topología algebraica, cuyo desarrollo ha utilizado la teoría de categorías durante mucho tiempo, pero en el fondo se trata realmente de la funcionalidad de $\pi_1$ . Por lo tanto, su ejemplo es una muy buena aplicación del concepto de funtor y también (indirectamente) del concepto de diagrama conmutativo.
Claro, por el $n$ -sustituto de disco dimensional $H_n$ o $\pi_n$ para $\pi_1$ .
Básicamente, la topología algebraica está llena de tales ejemplos. el teorema $\mathbb{R}^n \cong \mathbb{R}^m \Rightarrow n=m$ se puede probar en los siguientes pasos: Aplicar el funtor que mapea un espacio a su compactación en un punto, lo que da $S^n \cong S^m$ . Luego, aplica el $n$ th funtor de homología singular (reducido) $H_n$ , lo que da $\mathbb{Z} \cong H_n(S^m)$ y por lo tanto $n=m$ . muchos espacios $X,Y$ se puede separar usando (co) homología de homotopía.
¡Absolutamente, @MartinBrandenburg! La topología algebraica realmente usa que la homología y la homotopía son funtores de una manera que sería muy tediosa de explicar sin usar el concepto de funtor. Solo elegí un ejemplo que parecía particularmente simple, al mismo tiempo que demostraba algo muy bueno y no obvio.

Maciej Piróg · Answer 2

Un buen ejemplo del área de la informática sería John C. Reynolds " Polymorphism is not set-theoretic " (disponible aquí: https://hal.inria.fr/inria-00076261/document ). El punto es que de segundo orden $\lambda$ -El cálculo no tiene modelos teóricos de conjuntos (hay una definición bastante natural en el artículo de lo que significa ser "teórico de conjuntos").

La prueba es por contradicción: asumimos la existencia de un modelo de teoría de conjuntos, que nos permite definir un $T$ -álgebra $\mu T$ , dónde $T$ es un $\mathbf{Set}$ -endofuntor:

T X = (X \to B) \to B

$TX = (X \to \mathbb B) \to \mathbb B$

para un conjunto $\mathbb B$ con $|\mathbb B| \geq 2$ . El lema de Lambek dice que la acción de este álgebra inicial es un isomorfismo, por lo tanto

| m T | ≅ | (m T \to B) \to B |

$|\mu T| \cong |(\mu T \to \mathbb B) \to \mathbb B|$

lo que obviamente es una contradicción.

La prueba está dirigida por el "enfoque" categórico del concepto de inicialidad y, por lo tanto, tiene un sentimiento muy categórico, aunque no hay nada categórico en la formulación del teorema o la definición de lo que significa ser teórico de conjuntos.

¡Gracias por su respuesta! No tengo suficiente experiencia con la informática, por lo tanto, es difícil seguir su respuesta, que también parece usar otro idioma que el papel. Básicamente, no sé de qué estás hablando;). Sin embargo, conozco el lema de Lambek.
En "On Functors Expressible in the Polymorphic Typed Lambda Calculus" de Reynolds y Plotkin (disponible en la web de Gordon Plotkin) se puede encontrar una descripción más categórica (generalizada) de este resultado.

Marco Vergura · Answer 3

He aquí un ejemplo, probablemente muy clásico. ¡Espero que cuente para tus propósitos!

Proposición. El grupo fundamental de un grupo topológico. $(G,\ast,e)$ es abeliano.

Prueba. el grupo fundamental $\pi_{1}$ es un funtor de espacios topológicos a grupos que conserva productos, de modo que envía objetos de grupo a objetos de grupo. Un grupo topológico es un grupo en la categoría de espacios topológicos y, por lo tanto, se envía a través de $\pi_{1}$ a un objeto de grupo en la categoría de grupos, es decir, a un grupo abeliano.

Gracias por su respuesta. El argumento está "oculto" en la oración "un objeto de grupo en la categoría de grupos, es decir, a un grupo abeliano" (Eckmann-Hilton). Por lo tanto, creo que esta es solo una versión categórica de una prueba que ya se conocía. No me malinterpreten, me gusta mucho esta prueba y es muy elegante, pero la prueba no parece usar nociones categóricas de manera esencial . Por supuesto, es difícil definir qué significa eso con precisión y, de hecho, se podría argumentar que las otras respuestas hasta ahora tampoco necesitan nociones categóricas de manera esencial. Así que esta es solo mi opinión.
@MartinBrandenburg No lo sé, supongo que depende de lo que quiera decir con "una forma esencial" (si puede probar algo sin usar CT, entonces su uso en una prueba alternativa puede no considerarse esencial en absoluto). De todos modos, el hecho de que un grupo en grupos sea un grupo abeliano se puede comprobar independientemente del caso concreto y, desde algunas perspectivas, supongo que incluso puede considerarse un resultado en la teoría de categorías (porque se puede formular utilizando la teoría de categorías) incluso si se puede probar en términos elementales (usando el argumento de Eckmann-Hilton por ejemplo) [...]
@MartinBrandenburg [...] Sin embargo, usted es quien sabe lo que le interesa, así que considere la respuesta como desee :)

Yuan Qiaochu · Answer 4

Aquí hay dos pruebas que implican reconocer que una categoría grande es la categoría individual o profesional de una categoría más pequeña, y luego probar algo sobre la categoría más pequeña para obtenerlo para la categoría más grande.

Teorema: El dual de Pontryagin $\text{Hom}(A, S^1)$ de un grupo abeliano de torsión $A$ es un grupo abeliano profinito y viceversa; estos dos mapas son inversos entre sí en las clases de isomorfismo.

Prueba. Probaremos, de hecho, una equivalencia contravariante de categorías. La categoría de grupos abelianos de torsión es la categoría $\text{Ind}(\text{FinAb})$ de objetos ind en grupos abelianos finitos, mientras que la categoría de grupos abelianos profinitos es la categoría $\text{Pro}(\text{FinAb})$ de proobjetos en grupos abelianos finitos, por lo que basta con mostrar que la dualidad de Pontryagin es una equivalencia contravariante de categorías de $\text{FinAb}$ a sí mismo. Pero esto está claro: el dual de Pontryagin del grupo cíclico finito $C_n$ de orden $n$ es (no canónicamente) $C_n$ de nuevo, y la dualidad de Pontryagin respeta las sumas directas. $\Box$

Teorema ( teorema de representación de Stone ) : Cada anillo booleano $B$ es el anillo booleano $\text{Hom}(X, \mathbb{F}_2)$ de subconjuntos abiertos en un espacio profinito $X$ , el espacio de la Piedra $\text{Hom}(B, \mathbb{F}_2)$ de $B$ .

Prueba. Probaremos, de hecho, una equivalencia contravariante de categorías. La categoría de los anillos booleanos es la categoría ind de los anillos booleanos finitos, mientras que la categoría de los espacios profinitos es la categoría pro de los conjuntos finitos, por lo que basta con mostrar que tomando funciones continuas para $\mathbb{F}_2$ resp. tomar el espacio de Stone es una equivalencia contravariante de categorías de anillos booleanos finitos a conjuntos finitos. Pero es sencillo demostrar por inducción sobre la cardinalidad que todo anillo booleano finito es $\mathbb{F}_2^X$ para un conjunto finito $X$ y que tiene espacio de piedra $X$ . $\Box$

Grandes ejemplos. Las pruebas en el caso cíclico/finito pueden ser engañosas. El hecho de que haya algo de isomorfismo $(C_n)^* \cong C_n$ tiene (casi) nada que ver con la afirmación de que el mapa natural $C_n \to (C_n)^{**}$ es un isomorfismo, que es lo que necesitamos.
Esa observación deja muy claro que la dualidad de Pontryagin es esencialmente sobreyectiva, si esa es la forma en que te gusta probar que un funtor es una equivalencia de categorías. Supongo que en las dos pruebas anteriores omití mostrar que el funtor relevante envía colimits filtrados a límites cofiltrados, pero en ambos casos no es difícil de mostrar.
Esto no es lo que quería decir. Para una equivalencia de categorías $(F,G)$ , necesitamos isomorfismos naturales $F(G(X)) \cong X$ y $G(F(X)) \cong X$ , y probando isomorfismos aleatorios $F(X) \cong X$ , $G(X) \cong X$ (sea lo que sea que eso signifique, ya que los tipos de estos objetos difieren!) no es suficiente para esto.
@Martin: ¡eso no es lo que quería decir! Me refiero a que una forma de demostrar que la dualidad de Pontryagin es una equivalencia de categorías es demostrar que es completamente fiel y esencialmente sobreyectiva. Ambos se derivan esencialmente del hecho de que el dual de Pontryagin de un grupo abeliano finito es (no canónicamente) isomorfo a sí mismo.

tcamps · Answer 5

Puede probar el Lema de Poincaré reduciendo categóricamente/homotopía-teóricamente al caso de un punto. Prueba: (re-)enunciar el lema de Poincaré (toda forma cerrada en un subdominio contráctil de $\mathbb{R}^n$ es exacta) como una afirmación sobre la cohomología de De Rham, y probar que el funtor de cohomología de De Rham envía equivalencias de homotopía a los isomorfismos. Me parece recordar haber aprendido el lema de Poincaré antes de aprender sobre la invariancia de la homotopía, pero aparentemente no es necesario ir en ese orden.

Supongo que esto solo funciona para dominios que se pueden contraer suavemente (aunque no conozco ningún ejemplo de dominios que se puedan contraer de forma continua pero no suave), pero las restricciones técnicas en las declaraciones habituales del lema de Poincaré son aún más severas, por ejemplo, restringir a " dominios en forma de estrella".
Gracias por compartir este lindo ejemplo. Con respecto a su comentario: el autor parece usar una homotopía suave, porque se usa para retirar formas diferenciales, pero esto no se hace explícito en la declaración del Lema.

zxv · Answer 6

zxv

No sé si esto encaja como respuesta, pero creo que la existencia de grupos libres de Michael Barr es una buena aplicación de alguna teoría básica de categorías.

Martín Brandeburgo

Supongo que te refieres a la construcción.

F (S) = ⟨ i m (f) ⟩

$F(S) = \langle \mathrm{im}(f) \rangle$ , dónde

f : S \to | \prod_{i : S \to | G |} G |

$f : S \to | \prod_{i : S \to |G|} G|$ es el mapa canónico y el producto se toma sobre algún conjunto de

≅

$\cong$ -representantes de la clase de todos los mapas

i : S \to | G |

$i : S \to |G|$ que generan

G

$G$ ? Observe que la prueba de que tal conjunto (!) de representantes existe es casi lo mismo que construir el grupo libre directamente. He sido un "fanático" de esta construcción y del Teorema del Functor Adjunto durante mucho tiempo, pero recientemente he revisado los detalles y el enfoque completo ya no me convence.

Martín Brandeburgo

Mientras tanto, creo que la construcción más eficiente y útil de estructuras libres es no usar el Teorema del Funtor Adjunto (que es simplemente un resultado de existencia), sino considerar la estructura libre con la firma subyacente (es decir,

1^{[0]}

$1^{[0]}$ ,

{i n v}^{[1]}

$\mathrm{inv}^{[1]}$ ,

*^{[2]}

$*^{[2]}$ en el caso de grupos), que simplemente consta de todos los términos, y solo al final modifica todos los axiomas de grupo. Este enfoque funciona para estructuras algebraicas arbitrarias y también se puede internalizar en categorías cartesianas cocompletas arbitrarias.

Zhen Lin

No estoy seguro de que se pueda hacer con tanta generalidad en categorías cartesianas cocompletas arbitrarias. Además de la condición obvia de que el producto binario conserva los colímites en cada variable, que sin duda ha incluido en la definición de "cartesiano cocompleto", sospecho que también necesita exactitud, o tal vez incluso ser una categoría coherente.

Martín Brandeburgo

Me refiero a una categoría cocompleta con productos finitos tal que

X \times -

$X \times -$ es cocontinuo para todos

X

$X$ . ¿Por qué crees que se necesita exactitud o coherencia?

kakaz · Answer 7

(¡Esta es de matemáticas aplicadas, no teóricas como todas las anteriores!) Tomemos, por ejemplo, una estructura en la que tiene una persona que viaja de Nueva York a San Francisco. La CIA está recopilando información sobre esta persona, pero proviene de varias fuentes de información: boletos, registros de tarjetas de crédito, triangulaciones de teléfonos móviles, acceso wifi desde varios lugares, información de residentes en algunos lugares, etc. Toda esta información es, de hecho, funciones en diferentes dominios (algunos de ellos asignan a la persona a su posición, como observación directa, mientras que otros solo de manera indirecta, por ejemplo, boleto de avión o datos wifi conectados con el número imei del teléfono). Parte de esta información puede incluso estar mal relacionada con esa persona, como la observación no tan segura de un automóvil similar en el monitoreo de la cámara de la calle.

Ponemos todo esto en una gran base de datos de datos. ¿Qué fuentes de datos de estructura (reflejadas en el almacén de datos) deben tener para realizar un seguimiento básico de la posición de dicha persona y realizar algunas operaciones básicas en ella?

La respuesta es: debe ser una (pre) gavilla, que me pareció muy divertida e interesante.

Echa un vistazo aquí: https://www.youtube.com/watch?v=b1Wu8kTngoE

Sí, como en el nivel técnico, debe incorporar el lenguaje de la base de datos (o incluso SQL) con transformaciones de datos, lo que lo convierte en un uso efectivo del álgebra SQL con funtores en una categoría particular.

Aplicación honesta de la teoría de categorías

Martín Brandeburgo

Mariano Suárez-Álvarez

Mariano Suárez-Álvarez

Martín Brandeburgo

J126

Mariano Suárez-Álvarez

Martín Brandeburgo

tom hirschowitz

Martín Brandeburgo

tom hirschowitz

Martín Brandeburgo

Kostya_I

Kostya_I

Respuestas (7)

Omar Antolín Camarena

Martín Brandeburgo

Omar Antolín Camarena

Martín Brandeburgo

Omar Antolín Camarena

Maciej Piróg

Martín Brandeburgo

zxv

Marco Vergura

Martín Brandeburgo

Marco Vergura

Marco Vergura

Yuan Qiaochu

Martín Brandeburgo

Yuan Qiaochu

Martín Brandeburgo

Yuan Qiaochu

Martín Brandeburgo

tcamps

tcamps

Martín Brandeburgo

zxv

Martín Brandeburgo

Martín Brandeburgo

Zhen Lin

Martín Brandeburgo

kakaz

Martín Brandeburgo

kakaz