Aplicación del teorema de Wick

¿Qué se quiere decir en la Ec. (2.11) del papel que mencionó es de hecho para las cantidades ordenadas por Wick. La fórmula calcula

$$A=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\langle \ :\phi_i(x)\phi_i(x):\ :\phi_j(y)\phi_j(y):\ \rangle_0\ .$$ Bajé los índices para que no haya confusión con los exponentes. En principio, para cuatro campos hay 3 esquemas de contracción Wick pero los dos puntos prohíben las contracciones dentro de ellos. Los dos esquemas de contracción permitidos dan la misma contribución, por lo que uno tiene $$A=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\ 2\ \langle \ \phi_i(x)\phi_j(y)\ \rangle_0 \langle\ \phi_i(x)\phi_j(y)\ \rangle_0\ .$$ Finalmente uno tiene $$\langle\ \phi_i(x)\phi_j(y)\ \rangle_0=\delta_{ij} G(x-y)$$ y sumando los índices da el resultado deseado $$A=2N\ G(x-y)^2\ .$$

Tenga en cuenta que los campos locales cuadráticos involucrados, por ejemplo$\phi^i\phi^i(x)$, son campos compuestos que necesitan ser renormalizados para$A$incluso tener sentido. En la teoría libre, renormalizar estos operadores locales simplemente significa poner los dos puntos. Los autores no se molestaron en decir esto explícitamente porque es bien conocido por sus lectores previstos.