Cálculo de la función de dos puntos del vector QCD

empecemos con

$$\langle\Omega|T\{j_{\mu}(x)j_{\nu}(0)\}|\Omega\rangle=\langle\Omega|T\{[\bar{q}(x)\gamma_{\mu}q(x)][\bar{q}(0)\gamma^{\mu}q(0)]\}|\Omega\rangle=$$

$$=\langle\Omega|T\{\bar{q}(x)_a^i(\gamma^{ij})_{\mu}q(x)_a^j\bar{q}(0)_b^k(\gamma^{kl})^{\mu}q(0)_b^l\}|\Omega\rangle=\ldots$$

donde he hecho el$i,j,k,l$índices de espinor y$a,b$índices de color explícitos. Reordenando esto podemos escribir

$$=\langle\Omega|T\{(\gamma^{ij})_{\mu}q(x)_a^j\bar{q}(0)_b^k(\gamma^{kl})^{\mu}q(0)_b^l\bar{q}(x)_a^i\}|\Omega\rangle=\ldots$$

trabajaremos solo a primer orden en la teoría de perturbaciones. Entonces, solo guardamos la identidad de la expansión hamiltoniana de interacción, y contrayendo los campos de quarks adyacentes para obtener diagramas conectados obtenemos

$$\ldots=(\gamma^{ij})_{\mu}S(x)_{ab}^{jk}(\gamma^{kl})^{\mu}S(-x)_{ba}^{li}=N_CTr[\gamma_{\mu}S(x)\gamma^{\mu}S(-x)]$$

dónde$S$es el propagador de fermiones libres y hemos tomado la traza sobre índices de color obteniendo el$N_C$. Reemplazando esto en nuestra expresión original y cambiando el orden de las matrices dentro de las huellas aprovechando la naturaleza cíclica de las huellas que obtenemos

$$\frac{-iN_c\mu^{2\epsilon}}{(d-1)q^2}\int{}d^dx\,{}e^ {iqx}Tr[S(x)\gamma_{\mu}S(-x)\gamma^{\mu}]$$