Cálculo del factor de vértice para la teoría de campos escalares

Estoy practicando QFT básico y tengo algunos problemas para calcular el factor de vértice de una teoría interactiva que involucra dos campos escalares reales,$\phi_{1}$y$\phi_{2}$.

Si creo un Lagrangiano genérico con términos de interacción:

$$\mathcal{H}_{\text{int}}=g\phi_{1}^{2}\phi_{2} + q\phi_{1}^{2}\phi_{2}^{2}$$

Quiero calcular los factores de vértice asociados con estas interacciones. Entonces para calcular el$\phi_{1}^{2}\phi_{2}$vértice, calculo la función de Green de tres puntos:

$$G^{(3)}(x,y,z)=\langle\Omega|T\phi_{1}(x)\phi_{1}(y)\phi_{2}(z)|\Omega\rangle = \frac{\langle0|T\phi_{1}(x)\phi_{1}(y)\phi_{2}(z)\exp\left(-i\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{H}_{\text{int}}\:\mathrm{d}^{4}s\right)|0\rangle}{\langle0|T\exp\left(-i\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{H}_{\text{int}}\:\mathrm{d}^{4}s\right)|0\rangle}$$

Podemos expandir la exponencial involucrando$\mathcal{H}_{\text{int}}$a primer orden en$g$y$q$:

$$\exp\left(-i\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{H}_{\text{int}}\:\mathrm{d}^{4}s\right)=1-ig\int_{-\infty}^{\infty}\phi_{1}^{2}(s)\phi_{2}(s)\:\mathrm{d}^{4}s-iq\int_{-\infty}^{\infty}\phi_{1}^{2}(s)\phi^{2}_{2}(s)\:\mathrm{d}^{4}s$$

Claramente por el teorema de Wick, cualquier término sin un número par de$\phi_{1}$o$\phi_{2}$los términos desaparecerán, por lo que el denominador se convertirá en:

$$\langle0|T\exp\left(-i\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{H}_{\text{int}}\:\mathrm{d}^{4}s\right)|0\rangle = 1-iq\int_{-\infty}^{\infty}\langle0|\phi_{1}^{2}(s)\phi_{2}^{2}(s)|0\rangle\:\mathrm{d}^{4}s = 1 - iq\int_{-\infty}^{\infty}\:\mathrm{d}^{4}s\Delta_{F}^{(1)}(0)\Delta_{F}^{(2)}(0)$$

Dónde$\Delta_{F}^{(1)}(z)$es el propagador de Feynman para$\phi_{i}$.

Tengo entendido (de esta otra pregunta que hice), que los términos que contienen un renacuajo divergen ($\Delta^{(i)}_{F}(0)$) se puede poner a cero usando el requisito de que$\langle \phi_{i}\rangle = 0$, por lo que el denominador se evalúa como$1$.

Si esto es correcto, todo lo que se requiere es evaluar el numerador:

$$\langle0|T\phi_{1}(x)\phi_{1}(y)\phi_{2}(z)\exp\left(-i\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{H}_{\text{int}}\:\mathrm{d}^{4}s\right)|0\rangle = -iq\int_{-\infty}^{\infty}\langle0|T\phi_{1}(x)\phi_{1}(y)\phi_{2}(z)\phi_{1}^{2}(s)\phi_{1}(s)|0\rangle\:\mathrm{d}^{4}s$$

Podemos usar el teorema de Wick para evaluar el VEV en la integral:

$$\langle 0 |T \phi_{1}(x)\phi_{1}(y)\phi_{2}(z)\phi_{1}^{2}(s)\phi_{2}(s)|0\rangle = \Delta_{F}^{(1)}(x-y)\Delta_{F}^{(2)}(z-s)\Delta_{F}^{(1)}(0) + 2\Delta_{F}^{(1)}(x-s)\Delta_{F}^{(1)}(y-s)\Delta_{F}^{(2)}(z-s)$$

Así que creo que el factor de vértice para el$\phi_{1}^{2}\phi_{2}$La interacción es simplemente$-2ig$?

Para calcular el otro factor de vértice, usamos la función de Green de cuatro puntos:

$$G^{(4)}(x,y,z,w) = \langle \Omega | T \phi_{1}(x)\phi_{1}(y)\phi_{2}(z)\phi_{2}(w)|\Omega\rangle$$

Usando el mismo enfoque que antes, y reconociendo que el numerador es el mismo:

$$\langle0|T\phi_{1}(x)\phi_{1}(y)\phi_{2}(z)\phi_{2}(w)\exp\left(-i\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{H}_{\text{int}}\:\mathrm{d}^{4}s\right)|0\rangle = \langle 0 | T \phi_{1}(x)\phi_{1}(y)\phi_{2}(z)\phi_{2}(w)|0\rangle \\- iq\int_{-\infty}^{\infty}\langle 0 | T\phi_{1}(x)\phi_{1}(y)\phi_{2}(z)\phi_{2}(w)\phi_{1}^{2}(s)\phi_{2}^{2}(s)|0\rangle$$

Usando el teorema de Wick, podemos ver que esto es:

$$\Delta_{F}^{(1)}(x-y)\Delta_{F}^{(2)}(z-w) - iq\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}^{4}s\left\{4\Delta_{F}^{(1)}(x-s)\Delta_{F}^{(1)}(y-s)\Delta_{F}^{(2)}(z-s)\Delta_{F}^{(2)}(w-s) + \Delta_{F}^{(1)}(x-y)\Delta_{F}^{(2)}(z-w)\Delta_{F}^{(1)}(0)\Delta_{F}^{(2)}(0) + 2\Delta_{F}^{(1)}(x-s)\Delta_{F}^{(1)}(y-s)\Delta_{F}^{(2)}(z-w)\Delta_{F}^{(2)}(0) + 2\Delta_{F}^{(1)}(x-y)\Delta_{F}^{(2)}(z-s)\Delta_{F}^{(2)}(w-s)\Delta_{F}^{(1)}(0)\right\}$$

Lo cual, después de eliminar las divergencias de Tadpole, nos da:

$$\Delta_{F}^{(1)}(x-y)\Delta_{F}^{(2)}(z-w) - iq\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}^{4}s\left\{4\Delta_{F}^{(1)}(x-s)\Delta_{F}^{(1)}(y-s)\Delta_{F}^{(2)}(z-s)\Delta_{F}^{(2)}(w-s)\right\}$$

Ahora, creo que el primer término surge de dos partículas separadas que no interactúan. Por lo tanto, lo ignoramos y nuestro factor de vértice es solo$-4iq$, pero no estoy 100% seguro, ¿es así?