¿Son las coordenadas generalizadas en la mecánica lagrangiana realmente independientes?

Question

¿Son las coordenadas generalizadas en la mecánica lagrangiana realmente independientes?

acción
Física
mecanica clasica
dinámica restringida
formalismo lagrangiano
principio variacional

anon123

En Mecánica clásica de Goldstein , Capítulo 2.3: Derivación de las ecuaciones de Lagrange a partir del principio de Hamilton, parte de la derivación implica que cada una de las coordenadas generalizadas sea independiente.

\begin{matrix} (2.17) & d j = \int_{1}^{2} \sum_{i} (\frac{\partial F}{\partial y_{i}} - \frac{d}{d X} \frac{\partial F}{\partial {\dot{y}}_{i}}) d y_{i} d X, \end{matrix}

$\begin{equation*} \delta J = \int_{1}^{2} \sum_i \bigg(\frac{\partial f}{\partial y_i} - \frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial \dot{y}_i}\bigg)\ \delta y_i\ dx, \tag{2.17} \end{equation*}$ "Debido a que las variables y son independientes, las variaciones

δ y_{i}

$\delta y_i$ son independientes De ahí, por una extensión obvia del lema fundamental, la condición de que

δ J

$\delta J$ es cero requiere que los coeficientes de la

δ y_{i}

$\delta y_i$ desaparecer por separado: "

\begin{matrix} (2.18) & \frac{\partial F}{\partial y_{i}} - \frac{d}{d X} \frac{\partial F}{\partial {\dot{y}}_{i}} = 0, i = 1, 2, . . ., norte . \end{matrix}

$\newcommand{\vect}[1]{\boldsymbol{#1}} \begin{equation} \frac{\partial f}{\partial y_i} - \frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial \dot{y}_i} = 0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ i = 1, 2, . . ., n. \tag{2.18} \end{equation}$

Mis preguntas:

¿Cómo es exactamente la independencia de $\delta y_i$ implica que los coeficientes se anulan?
relaciones dadas $y_i=y_i(x)$ para $i = 1, 2, ..., n$ ¿No podemos encontrar siempre una relación? $y_i = y_i(y_1, y_2, ..., y_{j \neq i}, ..., y_n)$ ? Por ejemplo, si tenemos funciones $y_1 = x^2$ y $y_2 = x^4$ podemos encontrar una relacion $y_2 = y_1^2$ , lo que demuestra que estas funciones son dependientes. ¿Se maneja esto en la derivación de las ecuaciones de Lagrange? (Manten eso en mente $x$ medio $t$ , solo estoy usando $x$ porque eso es lo que usa Goldstein).
En el Capítulo 1.3 de Goldstein, se nos presentan las ecuaciones de restricción: $f(\vect{r_1}, \vect{r_2}, \vect{r_3}, ..., t) = 0$ . ¿Hay alguna razón por la cual los derivados de $\vect{r_i}$ no están incluidos? (¿Tendrá esto algún efecto en la reducción de los grados de libertad?)
¿Existen razones formales (matemáticas) por las que las ecuaciones de restricción reducen el número de coordenadas (y grados de libertad)?

Solo sé cálculo multivariable y vectorial, por lo que sería útil si te quedaras con los términos de esos dos temas.

Además: NO estoy preguntando sobre la independencia de las posiciones y velocidades generalizadas (ya hay suficientes preguntas al respecto).

Respuestas (2)

¿Son las coordenadas generalizadas en la mecánica lagrangiana realmente independientes?

Ari · Answer 1

Respondiendo a sus preguntas en orden:

La ecuación (2.17) nos dice que la integración de alguna cantidad es igual a deltaJ que finalmente igualamos a cero. Ahora bien, esta integración es cero independientemente de los límites de x que pongamos. Entonces, claramente la razón debe ser que el integrando mismo es cero. Ahora, el integrando aquí es la suma de los coeficientes de deltaY. Si deltaY no son independientes, puede suceder que alguna combinación inteligente de ellos cancele a los demás y haga que todo sea cero. Pero dado que son independientes (bajo nuestra suposición de coordenadas generalizadas), la única forma en que su suma puede ser cero es si son cero individualmente, lo que conduce a la Ecuación de Lagrange.
¿ Qué significa la independencia de las coordenadas ? No significa que una vez que haya resuelto la dinámica, es decir, haya encontrado y(x) para todo x, no habrá ninguna relación entre ellos. Por supuesto que existirá alguna relación (por complicada que sea). Pero lo que significa es que dada cualquier coordenada n-1, si te pido que encuentres la coordenada "n" no puedes. Simplemente porque entonces el "n" y puede tener cualquier valor posible. ¿Por qué es así? Porque recuerda que no teníamos coordenadas "n" cuando empezamos, teníamos muchas más. Usamos todas sus relaciones internas para disminuir el número de variables. Ahora todo lo que tenemos es puramente independiente, es decir, puede tomar cualquier valor incluso cuando hemos especificado todas las demás coordenadas.
Las relaciones de restricción en general pueden tener derivadas más altas de r, lo que Goldstein explicó en detalle. Incluso algunas restricciones pueden tomar la forma de desigualdad. Para el primer caso usamos la forma modificada de la ecuación de Lagrange.
La cuarta pregunta es evidente. En realidad, este es el tipo de razonamiento que usó en la segunda pregunta si toma x como otra coordenada variable. En ese caso, su coordenada generalizada era x (digamos) y su sistema de 3 coordenadas y1, y2, x tenía 2 relaciones de restricción y1 = y1 (x) y y2 = y2 (x). Estos dos redujeron el número de euaciones a uno. Es decir, ahora necesita resolver solo para la variable x. Los otros dos se definirán automáticamente.

Coraje · Answer 2

¿Cómo es exactamente la independencia de $δy_i$ implica que los coeficientes se anulan?

dejar $S= \sum_i \bigg(\frac{\partial f}{\partial y_i} - \frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial \dot{y}_i}\bigg)\ \delta y_i = 0$ (Dado que la integral de $S$ es cero $^{[1]}$ )

producto escalar de $S$ con $\delta y_m$

\begin{matrix} (1) & S \cdot d y_{metro} = \sum_{i} (\frac{\partial F}{\partial y_{i}} - \frac{d}{d X} \frac{\partial F}{\partial {\dot{y}}_{i}}) d y_{i} \cdot d y_{metro} = (\frac{\partial F}{\partial y_{i}} - \frac{d}{d X} \frac{\partial F}{\partial {\dot{y}}_{i}}) = 0 \end{matrix}

$S \cdot \delta y_m=\sum_i \bigg(\frac{\partial f}{\partial y_i} - \frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial \dot{y}_i}\bigg)\ \delta y_i \cdot \delta y_m = \bigg(\frac{\partial f}{\partial y_i} - \frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial \dot{y}_i}\bigg) \tag{1}=0$

dado que las variables independientes implican que son ortogonales, el RHS es distinto de cero solo para $i=m$ , (otros términos desaparecen ya que son ortogonales)

relaciones dadas $y_i=y_i(x)$ para $i=1,2,...,n$ ¿No podemos encontrar siempre una relación y_i = $y_i(y_1, y_2, ..., y_{j \neq i}, ..., y_n)?$ Por ejemplo, si tenemos funciones $y1=x2$ y $y2=x4$ podemos encontrar una relacion $y_2=y_{21}$ , lo que demuestra que estas funciones son dependientes. ¿Se maneja esto en la derivación de las ecuaciones de Lagrange? (Tenga en cuenta que x significa t, solo estoy usando x porque eso es lo que usa Goldstein).

recuerda que estas son variaciones virtuales y no reales , aquí estás arreglando una de las variables y estás tratando de variar la otra, ya que estás arreglando una de ellas, eres libre de variar la otra como quieras (nuevamente, en armonía con el restricciones)

En el Capítulo 1.3 de Goldstein, se nos presentan las ecuaciones de restricción: f(r1,r2,r3,...,t)=0. ¿Hay alguna razón por la que los derivados de ri no estén incluidos? (¿Tendrá esto algún efecto en la reducción de los grados de libertad?)

si la ecuación de restricción fuera de la forma

$f(q_1, q_2, q_3, \cdots, \dot q_1, \dot q_2,\dot q_3 ..., t) = 0$

La variación $\delta f$ simplemente será

d F = \sum_{i}^{norte} \frac{\partial F}{\partial q_{i}} d q_{i} + \frac{\partial F}{\partial {\dot{q}}_{i}} d {\dot{q}}_{i} + \frac{\partial F}{\partial t}

$\delta f=\sum_i^N \frac{\partial f}{\partial q_i} \delta q_i + \frac{\partial f}{\partial \dot q_i} \delta \dot q_i +\frac{\partial f}{\partial t}$

Y la variación de acción da

$\delta L + \lambda \delta f=0$

Todas las restricciones reducen los grados de libertad.

¿Existen razones formales (matemáticas) por las que las ecuaciones de restricción reducen el número de coordenadas (y grados de libertad)?

Suponer

r_{i} = r_{i} (q_{1}, q_{2}, \dots, q_{norte})

$r_i=r_i(q_1,q_2,\cdots, q_n)$

$i=1,2, \cdots 3N$

ya que un sistema de $N$ Las partículas libres pueden tener $3N$ grados de libertad

Y supongamos que hay $m$ restricciones

F_{j} = F_{j} (q_{1}, q_{2}, \dots, q_{norte})

$f_j=f_j(q_1,q_2,\cdots, q_n)$

$j=1,2, \cdots m$

ahora no todo $n$ las variables son independientes debido a las restricciones y, por lo tanto, el número de ecuaciones independientes se reduce a $3N-m$

Gracias por responder. En mi segunda pregunta, siento que debería ser más claro. Mi punto era: después de resolver los MOE deberíamos obtener n ecuaciones $y_1(t), y_2(t), ..., y_n(t)$ . Y al combinar estas ecuaciones de alguna manera para eliminar $t$ debemos obtener ecuaciones de restricción en la forma de $f(r_1, r_2, ..., \dot{r}_1, \dot{r}_2, ..., \dot{\dot{r}}_1, \dot{\dot{r}}_2, ..., t) = 0$ ¿Estas ecuaciones no sirven como método para eliminar coordenadas? ¿No muestran la dependencia de las coordenadas?
Pero inicialmente los trata como independientes ya que no sabría cómo se relacionan y está tratando de adivinar qué camino toma tomando todos los caminos posibles, pero resulta que siempre varían para minimizar la acción.

¿Son las coordenadas generalizadas en la mecánica lagrangiana realmente independientes?

anon123

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Ari

Coraje

anon123

Coraje

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