Anyons: efecto del trenzado sobre las multiplicidades de fusión

Mi pregunta es: ¿Cuál es el efecto del trenzado de, por ejemplo, anyon 1 con anyon 2 en la dimensión? ¿Cuál es el efecto de un giro?

Respuesta corta: ninguna. Considere eso para anyons$N_{ab}^c=N_{ba}^c$y ese torcer es realmente solo un trenzado con algunas cosas especiales.

Respuesta más larga: para que esto tenga sentido, tenemos que profundizar un poco más y eliminar algunos de los escombros involucrados en revisar los detalles de TQFT y llegar a una descripción más concisa de anyons y cómo lidiar con ellos. Algebraicamente, los anyones se describen mediante cosas llamadas categorías de tensores modulares o, a veces, categorías modulares para abreviar. Revisar los detalles de cómo llegamos de uno a otro es complicado (puedo recomendar esto como un punto de partida para la exploración, específicamente la sección que relaciona CS con la construcción Reshetikin-Turaev, así como esto para llegar al corazón de la Para una descripción más completa de la descripción algebraica de anyons, vea el apéndice E del artículo de Kitaev aquí. El artículo de Kitaev es un favorito personal y muy imitado).

Para aquellos que pueden confiar en que lo dicho anteriormente es correcto pero prefieren no buscar las definiciones relevantes, necesitamos algunas cosas:

Una categoría$\mathcal C$consta de dos cosas: Una colección de objetos$\mathcal C_0$. Para una categoría modular, esta colección es un conjunto finito . Lo segundo es que para cada par de objetos$x,y\in \mathcal C_0$, tenemos una colección$C_1(x,y)$de mapas (llamados hom-spaces) de$x$a$y$, es decir, funciones$f:x\rightarrow y$.

Para el caso de una categoría modular, estos espacios hom son espacios vectoriales de dimensión finita y, en particular, las categorías modulares de interés físico se denominan unitarias y estas incluyen una elección de producto interno que las convierte en espacios de Hilbert. El ejemplo más simple de una categoría modular es en realidad la categoría de espacios vectoriales complejos de dimensión finita. Los objetos son espacios vectoriales FDC y los mapas son mapas lineales entre ellos (que sabemos que también forman espacios vectoriales).

Una categoría monoide es una categoría que también tiene una forma de "multiplicar" dos objetos juntos. Las categorías modulares tienen la propiedad realmente agradable de que hacer esto nos devuelve una "suma" de los llamados "objetos simples". Como ya hemos mencionado$Vec_\mathbb C$, lo que queremos decir con estas dos cosas es bastante simple: la multiplicación es el producto tensorial de espacios vectoriales y la suma es la suma directa de espacios vectoriales. Lo que nuestra declaración anterior se traduce entonces es que el producto tensorial de espacios vectoriales de dimensión finita se descompone como una suma directa de espacios vectoriales complejos unidimensionales (que ya sabíamos). Entonces, en este caso, solo tenemos un objeto simple:$\mathbb C$. En general, podemos pensar en nuestros objetos simples como tipos de anyons.

Ahora pensemos en los espacios hom. La descomposición de nuestro producto.$a\otimes b$en una suma de algunos$c$'s nos da mapas de uno a otro, y así para cada uno$\{a,b,c\}$como arriba tenemos un espacio de Hilbert$\mathcal C_1(a\otimes b,c)$. Estos son precisamente nuestros espacios de fusión y sus dimensiones son$N_{ab}^c$. Estos coeficientes satisfacen la fórmula de Verlinde, aunque cómo los obtenemos de todo esto nos alejaría del tema de esta respuesta.

Si pensamos en fusiones múltiples, podemos extender nuestras ideas sobre espacios vectoriales de la misma manera: si tensor tres espacios vectoriales juntos, deben suceder dos cosas:

1. Los resultados de tensar los dos primeros y luego el segundo deben ser isomorfos a tensar el segundo y luego el primero.
2. Debido a esto, nuestra semi-simplicidad (que los tensores se descomponen en sumas), y el hecho de que nuestros hom-espacios son espacios vectoriales, debemos tener que $$\mathcal C_1(a\otimes b\otimes c, d)=$$ $$\bigoplus \mathcal C_1(a\otimes b,e)\bigotimes \mathcal C_1(e\otimes c,d)\cong \bigoplus \mathcal C_1(b\otimes c, f)\bigotimes \mathcal C_1(a\otimes f, d).$$ De este modo $$\sum_e N_{ab}^e N_{ec}^d = \sum_f N_{bc}^f N_{af}^d.$$ El isomorfismo entre estas dos descomposiciones (que constituyen dos opciones diferentes de base) es unitario y de donde obtenemos nuestras matrices F.

Ahora que tenemos nuestros espacios de fusión, necesitamos saber qué es un trenzado. Ya que mencioné que una categoría monoide tiene una noción de producto, nuestro trenzado puede pensarse como una noción de que ese producto es conmutativo, es decir$a\otimes b \cong b\otimes a$de alguna manera. Sin embargo, los detalles de esto requerirán que nuestros espacios hom sean isomorfos, es decir$\mathcal C_1(a\otimes b, c)\cong \mathcal C_1(b\otimes a,c)$. Entonces, debemos tener eso$N_{ab}^c=N_{ba}^c$. Como estamos interesados ​​en situaciones físicas, nuestro trenzado es entonces solo una matriz unitaria.$R_{ab}^c$con lados de longitud$N_{ab}^c$tomando$\mathcal C_1(b\otimes a, c)\rightarrow \mathcal C_1(a\otimes b,c)$.

De esto, obtenemos que nuestra matriz de intercambio para dos anyons a y b es solo la suma directa de nuestras matrices$R_{ab}^c$. Pero nuestras matrices R son isomorfismos, por lo que nuestra suma directa es un isomorfismo, por lo que las dimensiones no pueden cambiar.

Tomando esto, pensemos en un giro. Una cosa con la que no hemos tenido que lidiar hasta ahora es de dónde vienen los anyons y cómo se modela en nuestra categoría modular, pero eso es bastante simple. Para un objeto simple dado (cualquier tipo)$a$, el objeto simple (cualquier tipo)$a^{*}$tal que$N_{a a^{*}}^0\neq 0$se denomina dual. Desde un punto de vista físico, llamaríamos a esto la antipartícula de$a$. Debido a que nuestra categoría es unitaria, obtenemos gratis que$(a^{*})^{*}=a$. Entonces tenemos una opción de operadores de creación:$\mathbb C \rightarrow a^{*}\otimes a$y$\mathbb C \rightarrow a \otimes a^{*}$. Del mismo modo, tenemos dos opciones de operador de aniquilación.

Entonces, juntando las cosas, y omitiendo algunos detalles importantes, pero potencialmente oclusivos, podemos pensar en un giro en un anyon.$a$como teniendo$a$, creando un$a^{*}\otimes a$par a la izquierda de la misma, trenzando las dos copias de$a$y luego aniquilar. La dimensionalidad de nuestro sistema al principio y al final del proceso vuelve a ser la misma.