teoría del campo efectivo del modelo de semión proyectivo

Question

teoría del campo efectivo del modelo de semión proyectivo

Física
materia Condensada
orden topológico
fase topológica
chern-simons-theory
teoría cuántica de campos

zitao wang

El modelo de "seminación proyectiva" se consideró en http://arxiv.org/abs/1403.6491 (página 2). Es una fase topológica enriquecida con simetría (SET). Hay un anyon no trivial, un semion $s$ que induce un factor de fase de $\pi$ al dar la vuelta a otro semión. El orden topológico quiral es el mismo que el $\nu = 1/2$ estado de Hall cuántico fraccional bosónico, cuya teoría del campo efectivo es la $K = 2$ Teoría de Chern-Simons:

L = \frac{2}{4 π} ϵ^{m v λ} a_{m} \partial_{v} a_{λ}

$\begin{equation} \mathcal{L} = \frac{2}{4\pi}\epsilon^{\mu\nu\lambda}a_{\mu}\partial_{\nu}a_{\lambda} \end{equation}$

El grupo de simetría de la teoría es $G = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ . Etiquetamos los tres elementos de grupo no triviales como $g_x, g_y, g_z$ . La simetría puede actuar sobre el semión de las siguientes maneras:

Cada semión lleva la mitad de la carga de los tres $\mathbb{Z}_2$ transformaciones. Además los tres $\mathbb{Z}_2$ Las transformaciones se contrarrestan entre sí y se pueden representar como $g_x = i\sigma_x, g_y = i\sigma_y, g_z = i\sigma_z$ .
El semion lleva carga integral bajo dos de los tres $\mathbb{Z}_2$ transformaciones, y media carga bajo la otra $\mathbb{Z}_2$ transformación. Hay tres variantes de esto, y el grupo de simetría se puede representar como $g_x = \sigma_x, g_y = \sigma_y, g_z = i\sigma_z$ , o $g_x = \sigma_x, g_y = i\sigma_y, g_z = \sigma_z$ , o $g_x = i\sigma_x, g_y = \sigma_y, g_z = \sigma_z$ .

El fraccionamiento de simetría en el caso 1 está libre de anomalías pero es anómalo en el caso 2, como se muestra en http://arxiv.org/abs/1403.6491 .

Quiero escribir una descripción efectiva de la teoría de campos para describir el patrón de fraccionamiento de simetría en los casos 1 y 2 en el semion $a$ , y puedo ver explícitamente que la teoría de campo que escribo para el caso 1 está libre de anomalías, mientras que para el caso 2 tiene una anomalía.

Una forma posible es medir la simetría $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ , y acople los campos de calibre al semion $a$ . Los diferentes términos de acoplamiento reflejan las diferentes formas en que se representa la simetría en el semión. Creo que esto es esencialmente lo que la ecuación (5) en la página 21 de http://arxiv.org/abs/1404.3230 está tratando de describir. La acción que escribieron es

L = \frac{2}{4 π} ϵ^{m v λ} a_{m} \partial_{v} a_{λ} + \frac{{pag}_{1}}{2 π} ϵ^{m v λ} a_{m} \partial_{v} A_{1 λ} + \frac{{pag}_{2}}{2 π} ϵ^{m v λ} a_{m} \partial_{v} A_{2 λ} + \frac{{pag}_{3}}{π^{2}} ϵ^{m v λ} a_{m} A_{1 v} A_{2 λ}

$\begin{equation} \mathcal{L} = \frac{2}{4\pi}\epsilon^{\mu\nu\lambda}a_{\mu}\partial_{\nu}a_{\lambda} + \frac{p_1}{2\pi}\epsilon^{\mu\nu\lambda}a_{\mu}\partial_{\nu}A_{1\lambda} + \frac{p_2}{2\pi}\epsilon^{\mu\nu\lambda}a_{\mu}\partial_{\nu}A_{2\lambda} + \frac{p_3}{\pi^2}\epsilon^{\mu\nu\lambda}a_{\mu}A_{1\nu}A_{2\lambda} \end{equation}$

Puedo entender los términos segundo y tercero en esta acción, que dice (con $p_1=p_2=1$ ) que la semión $a$ lleva la mitad de la carga de simetría bajo los dos generadores (digamos $g_x$ y $g_y$ ) de $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ .

Sin embargo, tengo problemas para entender el último término de la acción, presumiblemente, significa que el semion lleva la mitad de la carga en los tres elementos. $g_x,g_y,g_z$ en $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ . Si esto es correcto, entonces establecer $p_1=p_2=0, p_3=1$ nos da una descripción efectiva del caso 1. La teoría está libre de anomalías; mientras que el ajuste $p_1=p_2=p_3=1$ nos da una descripción efectiva del caso 2 (semion $a$ lleva la mitad $g_x,g_y,g_z$ cargo del último término, y la mitad adicional $g_x,g_y$ cargo del segundo y tercer término), y la teoría es anómala. Esto es consistente con el reclamo en la página 24 de http://arxiv.org/abs/1404.3230 .

¿Alguien tiene una idea de por qué el último término en $\mathcal{L}$ dice que el semion lleva la mitad de la carga bajo los tres elementos $g_x,g_y,g_z$ en $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ ?

Respuestas (1)

teoría del campo efectivo del modelo de semión proyectivo

Meng Cheng · Answer 1

Meng Cheng

Podría ser útil considerar el significado físico del término $aA_1A_2$ en una teoría de calibre. Compacte la teoría en un toro "delgado", digamos la longitud del $y$ dirección $l_y$ es mucho más pequeño que $l_x$ . Los dos estados fundamentales se distinguen por el valor del bucle de Wilson a lo largo $y$ . Heurísticamente, podemos simplemente sustituir $a=0,\pi$ (Soy descuidado con los índices...), y en el sector semion obtenemos un término $A_1\wedge A_2$ en el "dimensionalmente reducido" $1+1$ teoría. Como se describe en http://arxiv.org/abs/1401.0740 , esta es la versión continua del $1+1$ Teoría de Dijkgraaf-Witten de $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ calibre, y describa el SPT 1D protegido por esta simetría. Esto implica que un semion es el final de un 1D $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ SPT, que lleva spin-1/2 (o la línea de semiones Wilson está "decorada" por una cadena Haldane). Sin embargo, dado que los SPT 1D se clasifican por $H^2(G, U(1))$ , es ambiguo acerca de la clase particular en $H^2(G, Z_2)$ , que es realmente de lo que trata tu pregunta.

Entonces, este argumento ciertamente no es satisfactorio y en realidad no aborda su pregunta directamente. ¿Quizás ir a la teoría del borde y descubrir la transformación de simetría en los modos del borde podría ayudar?

zitao wang

¡Gracias! Sí, creo que la reducción de dimensiones es una buena manera de ver la física. Pero no estoy seguro de si hay una forma más directa de interpretar el último término. En particular, lo que me confunde es que en la página 22 del artículo arxiv.org/abs/1404.3230 estipulan que si consideramos el

Z2×Z2 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ como resultado de un subgrupo de

tu( 1 ) × U( 1 ) $U(1) \times U(1)$ , entonces el semion

a $a$ se transformaría bajo el calibre

tu( 1 ) × U( 1 ) $U(1) \times U(1)$ de una manera bastante extraña

un → un -q1F1dϕ22 pi $a \rightarrow a-q_1f_1\frac{d\phi_2}{2\pi}$ . Esto me parece un poco artificial y no tengo una buena intuición para eso.

zitao wang

Además, no estoy seguro de lo que quiere decir con ir a la teoría del borde. Esta teoría vive en el límite de un

3 + 1 $3+1$ d SPT, cuya acción efectiva es una acción DW

S4 $S_4$ en la página 23 de arxiv.org/abs/1404.3230. Y el límite de un límite debe desaparecer.

Meng Cheng

Si

pag1=pag2= 0 $p_1=p_2=0$ la teoría está libre de anomalías y se puede realizar en 2D (de hecho, un líquido de espín quiral es un ejemplo perfecto, con

Z2×Z2 $Z_2\times Z_2$ simetría siendo el

π $\pi$ rotaciones alrededor de

x , y, z $x,y,z$ ejes). Así que no hay problema hablando de la teoría del borde. Solo los anómalos necesitan un bulto 3D SPT para regularizarse. Con respecto al tema de la invariancia de calibre, parece que

un → un -q1F1A2 $a\rightarrow a - q_1f_1A_2$

postula para cancelar la variación de a

aA1A2 $aA_1A_2$ . En realidad, no estoy seguro de cómo la acción es invariable bajo la transformación de calibre

a → a + dF $a\rightarrow a+df$ .

zitao wang

Debajo de

a → a + dF $a \rightarrow a+df$ ,

norte = 2 $n=2$ en nuestro caso) requiriendo que

dϕi= norteAi $d\phi_i = nA_i$ . Y escrito en la forma

pag3( 2 pi)2una dϕ1dϕ2 $\frac{p_3}{(2\pi)^2}ad\phi_1d\phi_2$ , es muy fácil ver que bajo

a → a + dF $a \rightarrow a+df$ , este término aporta una derivada total.

Meng Cheng

se me olvidó la

norte $n$ en la expresión. Esto tiene mucho sentido.

zitao wang

Creo que la ley de transformación que postulan

un → un -q1F1dϕ22 pi $a \rightarrow a -q_1f_1\frac{d\phi_2}{2\pi}$ bajo

tu( 1 ) × U( 1 ) $U(1) \times U(1)$ está estrechamente relacionado con cómo

Z2×Z2 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ está representado en los semiones. Si podemos entender por qué

a $a$ debe transformarse así, sabemos cómo

Z2×Z2 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ está representado en el semión.

zitao wang

También hace la acción con

pag1=pag2= 0 $p_1=p_2=0$ describir un líquido de espín quiral? Esperamos esto porque está libre de anomalías y la acción efectiva con

pag1=pag2= 0 $p_1=p_2=0$ está libre de anomalías. La ley de transformación de

a $a$ bajo

tu( 1 ) × U( 1 ) $U(1) \times U(1)$ es una especie de construcción que hace que el tercer término por sí mismo sea invariable (por lo tanto, libre de anomalías).

Meng Cheng

La acción de un líquido de espín quiral se puede escribir usando

CPAG1 $CP^1$ representación:

24 piuna duna + v | ( yo ∂− un − UN ⋅ σ) z|2 $\frac{2}{4\pi}ada+v|(i\partial-a-\mathbf{A}\cdot \sigma)z|^2$ donde

z= (z↑,z↓)T $z=(z_\uparrow, z_\downarrow)^T$ , y

A $\mathbf{A}$ es

SO ( 3 ) $SO(3)$ campo de calibre, que se puede desglosar aún más en

Z2×Z2 $Z_2\times Z_2$ . No estoy seguro de cómo esto puede estar relacionado con el

pag3 $p_3$ término...

zitao wang

¡Gracias! Tal vez uno pueda introducir un campo fantasma más a Higgs

SO ( 3 ) $SO(3)$ hasta

Z2×Z2 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ . Voy a tratar de trabajar en ello y ver si tiene sentido.

zitao wang

Hola Meng, estaba un poco confundido con el

Z2 $\mathbb{Z}_2$ coeficiente que aparece en la cohomología del grupo. Pensé que las representaciones proyectivas se clasifican por

H2( G , T( 1 ) ) $H^2(G,U(1))$ .

Meng Cheng

Para el fraccionamiento de simetría de anyons, se necesita usar el grupo de anyons abelianos como coeficientes. De hecho, en el ejemplo de la semión proyectiva, caso 1 y caso 2, si se considera como

tu( 1 ) $U(1)$ 2-cociclos, son cohomológicamente equivalentes. Y sabemos

H2(Z2, tu( 1 ) ) = 0 $H^2(Z_2, U(1))=0$ , pero los semiones aún pueden transportar la mitad de la carga de

Z2 $Z_2$ porque

H2(Z2,Z2) =Z2 $H^2(Z_2, Z_2)=Z_2$ . La razón para usar anyons abelianos como coeficientes es la consistencia del fraccionamiento con las reglas de fusión de anyons, como se explica en la Sec. IV de arxiv.org/pdf/1410.4540.pdf .

zitao wang

¿Hay alguna manera de saber el fraccionamiento de simetría en el semión en

2 + 1 $2+1$ d (una clase en

H2(Z2×Z2,Z2) $H^2(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2,\mathbb{Z}_2)$ ) de la acción de simetría en el semión en el borde del

1 + 1 $1+1$ d SPT (en este caso es bastante trivial, porque el giro de borde-1/2 del semión lleva la mitad de la carga bajo

Z2 $\mathbb{Z}_2$ )? Supongo que matemáticamente, mi pregunta es equivalente a preguntar si hay un homomorfismo de

Z2=H2(Z2×Z2, tu( 1 ) ) →H2(Z2×Z2,Z2) =Z32 $\mathbb{Z}_2=H^2(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2,U(1))\rightarrow H^2(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2,\mathbb{Z}_2)=\mathbb{Z}_2^3$ (Esperemos que una inyectiva).

Meng Cheng

No me parece. Entre las 8 clases en

H2(Z2×Z2,Z2) $H^2(Z_2\times Z_2, Z_2)$ , cuatro de ellos corresponden a la clase no trivial en

H2(Z2×Z2, tu( 1 ) ) $H^2(Z_2\times Z_2, U(1))$ . No veo una manera de invertir el mapeo.

zitao wang

Hola Meng, creo que entiendo la física de

aA1A2 $aA_1A_2$ ahora. Primero esta acción corresponde a cociclos tipo III

ω ( UN , B , C) = mi X pags ( yo πa1b2C3) $\omega(A,B,C) = exp(i\pi a_1b_2c_3)$ en el modelo DW con

Z32 $\mathbb{Z}_2^3$ simetría (página 10, Tabla I en el artículo de Juven exp(i\pia_1b_2c_3)). Luego las estadísticas de diferentes cociclos en el

2 + 1 $2+1$ d El modelo DW se considera en el artículo de Chenjie (página 9 de arxiv.org/abs/1412.1781 ). Las estadísticas descritas por

aA1A2 $aA_1A_2$ es no abeliano. Dice que después de un trenzado en forma de "borromeo" entre

un ,A1,A2 $a,A_1,A_2$ flujos, obtenemos una fase de

Θ123= π $\Theta_{123}=\pi$ .

zitao wang

Creo que en este caso, solo el

una dA1 $adA_1$ y

una dA2 $adA_2$ término contribuye a las estadísticas mutuas

( un ,A1) $(a,A_1)$ ,

( un ,A2) $(a,A_2)$ . En nuestro caso, los términos 2 y 3 dicen que

a $a$ lleva media

A1 $A_1$ y

A2 $A_2$ cargar. Sin embargo, el cuarto término

aA1A2 $aA_1A_2$ solo contribuye a las estadísticas trenzadas "borromeanas" no abelianas, y no contribuye a las estadísticas mutuas

( un ,A1) $(a,A_1)$ ,

( un ,A2) $(a,A_2)$ . Entonces, si solo tenemos el término 4h en la acción (es decir,

pag1=pag2= 0 ,pag3= 1 $p_1=p_2=0, p_3=1$ ), no deberíamos ver ninguna estadística mutua no trivial

( un ,A1) $(a,A_1)$ ,

( un ,A2) $(a,A_2)$ . En particular, la noción de que

a $a$ lleva media

A1 $A_1$ ,

tu( 1 ) × U( 1 ) $U(1)\times U(1)$ hasta

Z2×Z2 $Z_2\times Z_2$ .

zitao wang

si, lo hice. mi gtalk es zwangab91@gmail.com.

zitao wang

Esta es también mi cuenta de Skype. Probablemente podríamos organizar un tiempo que funcione para los dos. ¡Gracias!