Matriz de trenzado en las teorías de Chern-Simons...

El espacio de configuración$\mathcal {M}$de$N$anyons no abelianos en el$2-$esfera$S^2$consiste en$N$Copias de$S^2$excluyendo los puntos de colisión y además$N$representaciones irreductibles de un grupo de Lie no abeliano$G$correspondiente a los vectores de mayor peso$j_k$,$k= 1, .,.,.,N$.

El espacio de Hilbert (físico) correspondiente viene dado por:

$$H = \mathrm{inv}\left(\bigotimes_{k=1}^{N} H^{(j_k)}\right)$$ Dónde, $H^{(j_k)}$es el espacio de Hilbert de la $k-$Cualquiera que lleve una representación $j_k$de un grupo de Lie no abeliano $G$. ( $j_k$es el vector de mayor peso de la representación).

El espacio físico de Hilbert incluye sólo las representaciones escalares en el producto tensorial. La matriz de trenzado es una holonomía no abeliana.$B$de una conexión plana (que se describirá a continuación) en el paquete trivial$\mathcal {P} = \mathcal {M} \otimes G$, correspondiente a un camino cerrado en el espacio de configuración en el que uno cualquiera dice el$m-$uno rodea a otro cualquiera dice el$n-$s. (La trayectoria exacta es irrelevante ya que la conexión es plana). En este caso la matriz de trenzado$B = q^t$viene dada por: (Aquí estoy escribiendo explícitamente la notación abreviada de Pachos):

$$t = \sum_{a=1}^{\dim(G)} I_1 \otimes . . . \otimes T^a_{j_m}\otimes . . . \otimes T^a_{j_n}\otimes ... \otimes I_k$$

La suma en la matriz de trenzado está sobre una base ortonormal del álgebra de Lie$\mathfrak{g}$de$G$.$I_k$son matrices unitarias, por lo que la matriz de trenzado actúa solo sobre el producto tensorial de los espacios locales de Hilbert correspondientes a los aniones$m$y$n$.

Tenga en cuenta que debido al hecho de que$t$es invariante bajo$G$, el trenzado funciona dentro del espacio físico de invariantes de Hilbert.

La matriz de trenzado se puede obtener a partir de un modelo mecánico cuántico del sistema Anyon. Estoy siguiendo aquí Oh y Verlinde . Un sistema de partículas en$2+1$dimensiones adquiere cualquier estadística cuando se acopla a un término de Chern-Simons. En el caso de Anyons no abelianos, las partículas deben tener una estructura interna y estar acopladas a un término de Chern Simons no abeliano. Oh trabaja con la siguiente teoría de Anyons no relativistas cuya acción (por$SU(2)$anyons está dado por:

$$I = \int dt \sum_{k=1}^N \left( \frac{m_k}{2} \dot{q_k}^2 - Q_k^a (\theta_k, \phi_k)\left(A_i^a (q_k, t)\dot{ q_k }^i - A_0^a(q_k, t)\right) +j_k\cos(\theta_k)\dot{\phi_k}\right ) + \quad k \int dt d^2x \epsilon^{\mu \nu \lambda} (A_{\mu }\partial_{\nu} A_{\lambda } + \frac{2}{3} A_{\mu }A_{\nu} A_{\lambda } )$$ Esta es la ecuación (2) en el artículo con un ligero cambio de notación. $j_k$es el giro de la $k-$th cualquiera; el segundo término de la acción es la interacción del término no abeliano de Lorentz. El tercer término es el potencial simpléctico de las dos esferas que consisten en los espacios de fase clásicos de los grados de libertad de espín. $Q_k^a$son las cargas clásicas no abelianas, que debido a que el grupo es $SU(2)$vienen dadas por las componentes del momento angular (El álgebra de Poisson de la esfera): $$(Q_k^1, Q_k^2, Q_k^3) = j_k \left(\cos(\phi_k) \sin(\theta_k), \sin(\phi_k) \sin(\theta_k), \cos(\theta_k) \right)$$ La ley de Gauss (ecuaciones de movimiento de $A_0^a$) toma la forma: $$k F_{12}^a = \sum_{k=1}^N Q_k^a \delta^2(x-x_k)$$ Excepto en los puntos de partículas, el campo de calibre es plano, y la conexión plana que resuelve la Ley de Gauss se da en el calibre holomorfo ( $z = x^1+ix^2$) $$A_{z}^a = \sum_{k=1}^N Q_k^a \frac{1}{z-z_k}$$ Los cargos $Q_k^a$cuantificar en las matrices de representación $T_k^a$del $\mathfrak{su}(2)$álgebra. La holonomía de la conexión se convierte en: $$B = Pe^{\frac{1}{2 \pi k}\int_{\Gamma} \sum_k dz^k \sum_{l\ne k} dz^l T_k^a \otimes T_l^a \frac{1}{z_k-z_l}}$$ En el caso de dos cuerpos, el exponente se vuelve autoconmutador con el tiempo y la ordenación de caminos se vuelve innecesaria y obtenemos el resultado final:

$$B = e^{\frac{i}{2k} T_1^a \otimes T_2^a}$$

Para su primera pregunta, la notación es que$j$etiqueta la representación de$SU(2)$, mientras que el índice$a$recorre los generadores del álgebra, y debe sumarse. Así que una vez que eliges una representación dada$j$, la matriz correspondiente$B$es un$(2j+1)^2 \times (2j+1)^2$matriz, y no un escalar como parece sugerir. En el libro de texto de Pachos tienes el ejemplo explícito$j=1/2$tratados en el apartado 7.3.

Para tu segunda pregunta, creo que tienes razón. Véase, por ejemplo, la página 4 de este documento .