Relación entre las transformaciones modulares y el trenzado anyon

En el contexto del trenzado anyon, tenemos$S$y$T$matrices que describen las estadísticas mutuas y propias de anyons. En el contexto de la teoría del campo conforme en un toro, tenemos transformaciones modulares$S$y$T$. ($T:\tau\rightarrow\tau+1$,$S:\tau\rightarrow -\frac{1}{\tau}$con$\tau=\omega_2/\omega_1$el parámetro modular y$\omega_i$'s los períodos de la red en un toro.)

¿Cuál es la relación entre esos dos? Creo que la pregunta podría estar relacionada con los giros de Dehn, pero no sé cómo.

Actualización 20151021 : gracias a las referencias recomendadas por el profesor Wen en su respuesta, ahora puedo reformular mi confusión original y aclararla.

Originalmente no entiendo por qué podemos identificar las matrices unitarias$S$y$T$en el contexto de fases geométricas no abelianas con el$S$y$T$matrices en el contexto de las estadísticas anyon: parecen describir dos cosas diferentes. En el primer caso, son transformaciones modulares "geométricas", mientras que en el último caso, describen cómo las cuasipartículas "interactúan" con otras (o consigo mismas).

La fórmula de Verlinde dice$N_k^{ij}=\sum_l \frac{S_{li} S_{lj} (S_{lk})^*}{S_{l1}}$, que originalmente entendí como "La fusión de anyons ($N_k^{ij}$) está determinada por las estadísticas mutuas ($S$) de anyons." De esta manera, no podía ver cómo las transformaciones modulares podrían entrar en el juego y afectar las estadísticas de anyon después de todo.

Sin embargo, descubrí más tarde que el trabajo original de Verlinde decía "La transformación modular$S$diagonaliza las reglas de fusión". Es decir, la$S$en la fórmula debe entenderse como "transformación modular" en lugar de "estadísticas mutuas de anyon". De esta manera, me parece claro que la transformación modular determina los grados internos de libertad de anyons y, por lo tanto, une las aparentemente "dos cosas diferentes".