Algunos consejos para casos especiales de tensor métrico en GR

La métrica es bien conocida y se puede demostrar que describe una onda gravitatoria. Ayudaré a probar la afirmación utilizando una métrica ligeramente diferente que es más conveniente para el formalismo de tétrada. La métrica:

$$ds^2=dt^2-dr^2+H(t-r,x^1,x^2)(dt-dr) - d(x^i)^2$$

dónde$i=1,2$y$x^1,x^2$son coordenadas genéricas. Definimos una base ortonormal,

$$\omega^t=dt+\frac{1}{2}H(...)(dt-dr) \quad \omega^r = dr +\frac{1}{2}H(...)(dt-dr)$$

y$\omega^i=dx^i$tal que$\underline{g}=\eta^{ab}\omega_a \omega_b$. Tomando derivadas exteriores de los rendimientos básicos,

$$d\omega^t=\frac{1}{2}H_{,i} dx^i \wedge (dt-dr)=-\frac{1}{2}H_{,i}(\omega^t -\omega^r)\wedge \omega^i$$

y análogamente para la otra base; por supuesto$d\omega^i = 0$. Por la primera ecuación de Cartan,

$$d\omega^a=-\theta^a_b \wedge \omega^b$$

para la conexión de espín$\theta^a_b$. Aplicando la ecuación, podemos deducir los componentes distintos de cero,

$$\theta^t_i=\frac{1}{2}H_{,i}(\omega^t-\omega^r)$$

e idénticamente para el$\omega^r$caso; el resto desaparece. La segunda ecuación de Cartan dicta,

$$R^a_b = d\theta^a_b +\omega^a_c \wedge \omega^c_b$$

Debería poder hacerse cargo del cálculo desde aquí. Como solo estamos interesados ​​en el caso intrínsecamente plano, el escalar de Ricci debería desaparecer en cualquier base, por lo tanto, no hay necesidad de volver a convertir a la base de coordenadas. Eventualmente, encontrará la condición,

$$\Delta H = 0$$

dónde$\Delta$es el operador de Laplace, el resultado deseado. Para asegurar que es una onda gravitatoria, exigimos$T_{\mu\nu}=0$, de lo contrario, no podemos, al menos por inspección, concluir de inmediato que la onda es gravitatoria, en lugar de, por ejemplo, electromagnética. Por las ecuaciones de campo de Einstein, eso implica$R=0$.