Derivación del teorema de Birkhoff

El Teorema de Birkhoff en 3+1D se prueba, por ejemplo (a un nivel de rigor físico) en la Ref. 1 y ref. 2. (En las Refs. 3-4 se da una demostración elegante equivalente de 1 página del teorema de Birkhoff.) Imagine que hemos logrado argumentar$^1$que la métrica es de la forma de eq. (5.38) en la ref. 1 o equiv. (7.13) en la ref. 2:

$$ds^2~=~-e^{2\alpha(r,t)}dt^2 + e^{2\beta(r,t)}dr^2 +r^2 d\Omega^2. \tag{A}$$

Es un ejercicio sencillo calcular el tensor de Ricci correspondiente$R_{\mu\nu}$, véase la ecuación. (5.41) en la ref. 1 o equiv. (7.16) en la ref. 2. La notación está aquí

$$x^0\equiv t, \quad x^1\equiv r, \quad x^2\equiv\theta, \quad\text{and} \quad x^3\equiv\phi.$$ Las ecuaciones de Einstein en el vacío leen

$$R_{\mu\nu}~=~\Lambda g_{\mu\nu}~.\tag{E}$$

El argumento es ahora el siguiente.

1. De

   $$0~\stackrel{(E)}{=}~R_{tr}~=~\frac{2}{r}\partial_t\beta$$ sigue que$\beta$es independiente de$t$.

2. De

   $$0~\stackrel{(A)}{=}~\Lambda\left(e^{2(\beta-\alpha)} g_{tt}+g_{rr} \right) ~\stackrel{(E)}{=}~ e^{2(\beta-\alpha)} R_{tt}+R_{rr}~=~\frac{2}{r}\partial_r(\alpha+\beta)$$ sigue que$\partial_r(\alpha+\beta)=0$. En otras palabras, la función$f(t):=\alpha+\beta$es independiente de$r$.

3. Definir una nueva variable de coordenadas$T:=\int^t dt'~e^{f(t')}$. Entonces la métrica$(A)$se convierte

   $$ds^2~=~-e^{-2\beta}dT^2 + e^{2\beta}dr^2 +r^2 d\Omega^2.\tag{B}$$

4. Cambiar el nombre de la nueva variable de coordenadas$T\to t$. Entonces la ec.$(B)$corresponde al ajuste$\alpha=-\beta$en la ec.$(A)$.

5. De

   $$\Lambda r^2~\stackrel{(B)}{=}~\Lambda g_{\theta\theta} ~\stackrel{(E)}{=}~ R_{\theta\theta} ~=~1+e^{-2\beta}\left(r\partial_r(\beta-\alpha)-1\right) ~=~1-\partial_r(re^{-2\beta}),$$ resulta que $$re^{-2\beta}~=~r-R-\frac{\Lambda}{3}r^3$$ para alguna constante de integración real$R$. En otras palabras, hemos derivado la solución de Schwarzschild-(anti)de Sitter , $$e^{2\alpha}~=~e^{-2\beta}~=~1-\frac{R}{r}-\frac{\Lambda}{3}r^2.$$

Finalmente, si volvemos al original$t$variable coordenada, la métrica$(A)$se convierte

$$\begin{align}ds^2~=~&-\left(1-\frac{R}{r}-\frac{\Lambda}{3}r^2\right)e^{2f(t)}dt^2 \cr &+ \left(1-\frac{R}{r}-\frac{\Lambda}{3}r^2\right)^{-1}dr^2 +r^2 d\Omega^2.\end{align}\tag{C}$$

Es interesante que la métrica$(C)$es la métrica más general de la forma$(A)$que satisface las ecuaciones de vacío de Einstein. La única libertad es la función.$f=f(t)$, que refleja la libertad de repararmetrizar la$t$variable coordenada.

Referencias:

1. Sean Carroll, Espacio-tiempo y Geometría: Introducción a la Relatividad General , 2003.

2. Sean Carroll, Lecture Notes on General Relativity , Capítulo 7. El archivo pdf está disponible aquí .

3. Eric Poisson, Juego de herramientas de un relativista, 2004; Sección 5.1.1.

4. Eric Poisson, Un curso avanzado en GR ; Sección 5.1.1.

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$^1$Aquí, por conveniencia, mostramos cómo la Ref. 1 y ref. 2 reducir de

$$\begin{align} ds^2~=~&g_{aa}(a,r)~da^2 +2g_{ar}(a,r)~ da~dr \cr &+g_{rr}(a,r)~ dr^2 +r^2d\Omega^2\end{align} \tag{5.30/7.5}$$ a $$ds^2~=~m(r,t)~dt^2 +n(r,t)~dr^2 +r^2d\Omega^2. \tag{5.37/7.12}$$ Prueba: Definir una función $$n~:=~g_{rr}-\frac{g_{ar}^2}{g_{aa}}$$ y un diferencial inexacto $$\omega~:=~da+\frac{g_{ar}}{g_{aa}}dr.$$ Entonces la ec. (5.30/7.5) lee $$ds^2~=~g_{aa}\omega^2 +n~dr^2 +r^2d\Omega^2.$$ La función$\sqrt{m}$en la ec. (5.37/7.12) puede verse como un factor de integración para hacer el diferencial$\sqrt{\frac{g_{aa}}{m}}\omega$exacta, es decir, de la forma$dt$para alguna funcion$t(a,r)$.

¿Está haciendo esto rigurosamente utilizando un ansatz para su métrica y conectándolo a las ecuaciones de campo habituales de Einstein en el vacío o algo "más topológico"?

Si ex, en el ansatz más común,

$ds^2 = e^{f(t,r)} dt^2 - e^{g(t,r)} dr^2 - r^2 d\Omega^2$

obtienes tu independencia métrica del tiempo t con la

{01}.º componente del tensor de Ricci, que establece una derivada temporal de uno de sus componentes métricos en 0. Las combinaciones algebraicas de los otros componentes del tensor de Ricci le brindan las relaciones entre las funciones de los componentes métricos.$f$y$g$, en algún lugar del camino deberías obtener algo como$\frac{d}{dt}[f(t,r)-g(t,r)] = 0$. Eso le da a su tiempo independencia de$g_{11}$.