¿Algún texto griego existente prueba que el área de un polígono regular inscrito aumenta con el número de lados?

¿Algún texto griego existente prueba que el área de un polígono regular inscrito en un círculo fijo aumenta con el número de lados del polígono?

No puedo encontrar tal proposición en Euclides , pero los griegos seguramente la conocían y tenían una prueba, especialmente porque una prueba ni siquiera necesita usar la teoría de la proporción de Eudoxo.

(Creo que esto es válido, por ejemplo. Es algo que los griegos podrían haber inventado fácilmente. Puede que incluso lo haya complicado demasiado).

Nota en el título editado, ¿ Sabían los griegos que el área de los polígonos regulares inscritos aumenta con el número de lados? :

^{Como se indica en el cuerpo de la pregunta, personalmente no dudo que los griegos "conocieran" el resultado, tanto en el sentido débil de encontrarlo intuitivamente obvio como en el sentido fuerte de tener al menos una prueba (que, en la ausencia de evidencia, solo puede ser adivinada). Por supuesto, esto es solo una opinión personal, ni siquiera educada. No puedo probarlo; pero por otro lado, ¡no quiero hacer una pregunta al respecto! Además, el título editado plantea una pregunta epistemológica (¿qué significa "saber" un resultado?), que preferiría evitar. No solo eso, sino que podría conducir a un debate histórico complejo, sin una conclusión clara. Prefiero mi redacción original, concreta y de enfoque limitado. Si aún es necesario reformular la pregunta, indique por qué.}

Como se está discutiendo una proposición similar sobre perímetros en una respuesta y sus comentarios, parece que vale la pena reproducir aquí un comentario en el que derivo ese resultado como corolario:

Dejar$a_n$ser el área y$p_n$el perímetro de un regular$n$-gon inscrito en una circunferencia de radio$r$. Si los vértices de la$(2n)$-gon son$P_0P_1P_2\cdots$, entonces$P_0P_2 \perp OP_1$, por lo tanto el área de$\triangle OP_1P_2$es$\frac{r}{2}\cdot\frac{p_n}{2n}$; pero la misma área también es igual a$\frac{a_{2n}}{2n}$; por lo tanto$p_n = \frac{2a_{2n}}{r}$; y$a_{2n}$aumenta con$n$, por lo tanto también$p_n$.