¿Cuáles son los números "pares e impares" de Philolaos?

El número, en efecto, tiene dos géneros propios (ιδια ειδη), par e impar, y un tercero mezclado de ambos, el par-impar (αρτιοπέριττον). De cada una de las dos clases hay muchas formas, de las cuales cada cosa da signos.

(Philolaus F5 = Stobaeus, Eclogae 1.21.7c; tr. Huffman 1993)

La cita es de Plato and Pythagoreanism de Horky , 2013, (p.141), se comenta dos veces más en el texto. En la página 185, el autor escribe "el llamado par-impar (αρτιοπέριττον), que parece referirse al "uno". Aristóteles también conocía este fragmento, y es explícito al asociar el "uno" con la clase "par-impar" y afirmar que se deriva del "par" y el "impar". En la página 190, decepcionado, dice: "Sin embargo, está más allá del alcance de este estudio examinar con más detalle el significado del concepto de 'mezcla' de Formas o clases".

El “uno” no es el número que precede al dos que los antiguos griegos aparentemente no aceptaban como número. La cita de Philolaos podría sugerir que se distingue porque no tiene forma, pero estoy tentado a leerlo como si sugiriera que los números mixtos tienen múltiples formas, mientras que los números de los tipos adecuados tienen cada uno solo una.

Entonces, ¿cuáles son los 3 tipos de números? Los números impares son quizás los que también llamamos impares (empezando por 3), mientras que los números pares son vistos como, por así decirlo, 'estrictamente pares', las potencias de 2, es decir 2,4,8,16 y el resto, o sea 6,10,12 etc. como par-impar. ¿Referencias y comentarios (o debería trasladarse a Philosophy SE)?

Según Liddell & Scott, perseus.tufts.edu/hopper/… , un par-impar es dos veces un número impar.
Gracias pero LS nos devuelve a F5 y al "uno" de Aristóteles (Arist.Fr.199); a Plutarco (?= Plu.2.1139f) y lo Ph.1.3?.
Primero, permítanme decir que si bien estoy familiarizado con un par de textos relevantes, no tengo un conocimiento completo del área y, por lo tanto, no se debe confiar completamente en mis opiniones. Quizás esté sugiriendo que LS en par-impar ha sido reemplazado (plausible). Pensé que estabas preguntando solo sobre las definiciones de tres términos. No estoy seguro del contexto, los pitagóricos o, en términos generales, los "antiguos griegos". Los antiguos griegos eran un grupo heterogéneo, y quizás los pitagóricos también lo eran. Por ejemplo, Euclides da una clasificación diferente de números ( pares, impares, etc.)...
... La referencia de LS a un fragmento de Aristóteles, que se puede rastrear , parece estar en desacuerdo con la definición en LS. El fragmento plantea más preguntas de las que responde, que es lo que ocurre con los fragmentos, supongo. Me parece que Aristóteles podría estar criticando el concepto pitagórico de par-impar , en lugar de afirmarlo o explicarlo.
Gracias de nuevo. Un problema es que F5 parece implicar (en traducción) un tercer tipo , no solo un caso singular; por otro lado, dividir los números pares como sugirió LS (o I) tiene poco sentido.
Supongo que se refiere al esquema de clasificación dado por Euclides, libro 7, definiciones 8-10. Euclides clasifica los números según este esquema en el libro 9, proposiciones 32-34.
Eucl.7d.8-10 es una respuesta: si los 3 casos son EE, EO, OO; pero donde debemos poner 20=2X10=4x5? LS también parece una buena respuesta, pero todavía no entiendo qué hace que los números que contienen solo un factor 2 sean notables (por ejemplo, 14 y no 12). Philolaos es quizás una pista para Euclides y no al revés...
Especulaciones, fwiw: (1) La clasificación de Euclides representa un cambio, ya sea una evolución de los pitagóricos o una línea completamente separada. (2) Lo par-impar como una subclase de números pares es notable porque los números pares se pueden producir a partir de dos números impares; mientras que dos números pares juntos forman un número del mismo tipo/forma y, más generalmente, en la naturaleza, lo similar engendra a lo similar, dos números impares engendran un tipo completamente diferente de ellos mismos. Tampoco es notable que un número impar y un número par formen un número impar, ya que uno de los progenitores contiene el tipo/forma "impar".
Solo lea el capítulo Philolaos de D. Graham en la Historia del pitagorismo de Huffman : su opinión es que Philolaos se basó en un esquema generativo general con un/limitado y engendra LL, UL, UU (p.52). La mayoría de los fragmentos reciben un comentario, pero no F5. En la página 72, afirma que "Ph. parece tener la opinión de que el número 1 es par e impar". Por cierto, "engendrar", ya sea como + o x, siempre conduce dos veces a E y una vez a O.

Respuestas (1)

Aristóteles comenta sobre la teoría de Pitágoras en Met , Libro I (A), 986a14-986a22 :

estos pensadores también consideran que el número es el principio tanto como materia para las cosas como formando sus modificaciones y estados, y sostienen que los elementos del número son el par y el impar, y de estos el primero es ilimitado y el segundo limitado; y el 1 procede de ambos (porque es tanto par como impar), y el número del 1 ; y todo el cielo, como se ha dicho, son números.

Pero véase también Thomas Heath, A History of Greek Mathematics. Volumen I (1921) , página 71:

Aparentemente, la explicación de este extraño punto de vista podría ser que la unidad, siendo el principio de todos los números, tanto pares como impares, no puede ser en sí misma impar y, por lo tanto, debe llamarse par- impar .

Hay, sin embargo, otra explicación, atribuida por Teón de Smyrne a Aristóteles, en el sentido de que la unidad cuando se suma a un número par da un número impar, pero cuando se suma a un número impar da un número par: que no podría ser el caso si no participara de ambas especies.

El Fr.5 de Philolaus se analiza extensamente en: Carl Huffman, Philolaus of Croton: Pythagorean and Presocratic , Cambridge UP (1993), página 178 y siguientes. Hay varias interpretaciones, incluida la posibilidad de una interpolación.

Ver página 190:

En resumen, creo que el par-impar es una clase derivada de números cuyo primer miembro es, como indica la tradición antigua, el uno, pero que también incluye números que consisten en números pares e impares combinados en proporciones (por ejemplo 2 : 1 , 4 : 3 , y 3 : 2 ) . Esta clase de números corresponde a la tercera clase de cosas en Fr.2, que consiste en miembros que están armonizados a partir de constituyentes limitantes e ilimitados. Los números pares e impares son los números por los cuales se conocen estas cosas armonizadas. Esta conexión, por supuesto, sigue siendo una conjetura, pero creo que es una forma plausible de dar sentido tanto a Fr.2 como a Fr.5 de Filolao y el testimonio de Aristóteles de que había una conexión entre la dicotomía par-impar y la dicotomía ilimitado-limitado. , aunque mi sugerencia no identifica a los dos como lo hace Aristóteles.

Utilizando términos actuales, se podría decir que para los antiguos griegos, antes del descubrimiento de los irracionales, los números eran enteros > 1, pares o impares y racionales. Entonces, incluir 1 entre los pares e impares tiene sentido, pero no la explicación dada por Theon y otros, ya que agregar cualquier número impar cambia la paridad.
@ arena1 - Estrictamente hablando, para los antiguos griegos, los números eran solo naturales . Luego tienen razones entre magnitudes, y las magnitudes se pueden "medir" con números. Puedes ver el post: irracionalidad-de-la-raíz-cuadrada-de-2 .
Nótese también que para Euclides 'irracional' (ἄλογος - una mejor traducción es 'desproporcionado') significa algo diferente del moderno 'irracional' - el término de Euclides para su equivalente del concepto moderno es 'inconmensurable'. (Ver las definiciones del libro 10 de los Elementos .)
Además, en Euclides, un número no mide una magnitud: solo los objetos que tienen una relación entre sí pueden medirse entre sí (estrictamente, si el que mide es igual o menor que el medido).
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