Teorema de Stokes en variedades de Lorentzian

Esta es la versión dos de mi prueba. El OP descubrió un error de señal en mi primer intento que reveló que mi argumento era circular. La prueba correcta está abajo.

No es sorprendente que esto tenga que ver con que la firma de la métrica del espacio-tiempo no sea definida positiva. Además, este problema es muy sutil. Cabe señalar que este resultado se cita parcialmente en Hawking-Ellis, The large-scale structure of spacetime (1973), correctamente en Wald, General Relativity (1984), incorrectamente en Carroll, Spacetime and Geometry (2003) y se insinúa en Straumann, Relatividad General (2013). Ninguno de estos contiene una prueba. Las notas de clase vinculadas tienen el resultado correcto. Carroll ha cambiado las direcciones "hacia afuera" y "hacia adentro". El libro de Gourgoulhon, Special Relativity in General Frames , contiene una prueba parcial en$4$dimensiones, que adoptamos aquí para$n$dimensiones.

Primero establecemos los preliminares. Las pruebas se pueden encontrar en el excelente libro de Lee, Introducción a Smooth Manifolds (2013). Hemos proporcionado los números de los teoremas por conveniencia. (En ciertos puntos, los resultados de la geometría riemanniana deben generalizarse con cierto cuidado).

Dejar$M$ser un suave$n$-manifold con límite$\partial M$. Dejar$\mathrm{d}$sea ​​la derivada exterior de$M$,$i_X$la derivada interior wrt. el campo vectorial$X$y$L_X$el derivado de Lie wrt.$X$. Dejar$g$ser una métrica pseudo-riemanniana en$M$con conexión Levi-Civita$\nabla$y$(x^\mu)$ser coordenadas orientadas en$M$. Dejar$\{E_\mu\}_{\mu=1}^n$denota un marco ortonormal. La orientación canónica es una forma diferencial de grado superior$\mu$para cual$\mu(E_1,\dotsc,E_n)=1$.

A continuación definimos "hacia afuera" y "hacia adentro". un vector$v\in T_pM$($v$no debe estar completamente en$T_p\partial M$) se dice que apunta hacia afuera si existe una curva$\gamma:(-\epsilon,0]\to M$tal que$\gamma(0)=p$y$\dot\gamma(0)=v$. Se dice que apunta hacia adentro si existe una curva.$\gamma:[0,\epsilon)\to M$tal que$\gamma(0)=p$y$\dot\gamma(0)=v$. (Aquí$\epsilon$es un número positivo.)

Algunos Resultados. $\partial M$es una codimensión incrustada suave$1$subvariedad y tiene un vector normal (unitario) definido unívocamente. (Tem. 5.11, Prop. 15.33.) La noción de "hacia afuera" y "hacia adentro" es una relación de equivalencia en el conjunto de vectores normales. Un vector normal$N$es hacia adentro iff$-N$es exterior (Proposición 5.41, Proposición 15.33.)$\mu$es una orientación canónica iff$\mu=\sqrt{\lvert\det g_{\mu\nu}\rvert}\,\mathrm{d}x^1\wedge\cdots\wedge\mathrm{d}x^n$. (Proposición 15.31.) Si$\omega$es una orientación,$\iota:S\hookrightarrow M$es el límite de un subconjunto de$M$y$Y$es un vector que apunta fuera de$S$, después$\iota^*(i_Y\omega)$es una orientación consistentemente orientada en$S$. (Prop. 15.24) La divergencia$\operatorname{div}X:=\nabla_\mu X^\mu$satisface$\operatorname{div}X\,\mu=L_X\mu$. (Página 425.) Fórmula de Cartan:$L_X=i_X\circ\mathrm{d}+\mathrm{d}\circ i_X$. (Tem. 14.35.)

Ahora deja$(\mathcal{M},g)$sea ​​el espaciotiempo múltiple y métrico. Ahora$\partial \mathcal{M}$es el límite y$\iota:\partial \mathcal{M}\hookrightarrow \mathcal{M}$es la inclusión. Ver secc. 2.7 de Hawking-Ellis para una discusión de

Hipersuperficies. Si$\iota^*g=:h$es riemanniano,$\partial\mathcal{M}$se dice que es espacial y$N$es temporal. Si$h$es lorentziano,$\partial\mathcal{M}$se dice que es temporal y$N$es espacial.

En lo siguiente, deja$\tilde\mu$ser la orientación canónica en$(\partial\mathcal{M},h)$y deja$N$ser, por ahora, la unidad que apunta hacia afuera normal. (Ya que$g$es lorentziano, esto significa que$\langle N,N\rangle=\pm1$.)

Por la fórmula de Cartan, para cualquier campo vectorial$X$,

$$\operatorname{div}X\,\mu=L_X\mu=\{\mathrm{d},i_X\}\mu=\mathrm{d}(i_X\mu),$$ y por el teorema de Stokes $$\int_\mathcal{M}\operatorname{div}X\,\mu=\int_{\partial \mathcal{M}}\iota^*(i_X\mu).$$

Resulta que$\iota^*(i_X\mu)=i_X\mu\restriction_{\partial\mathcal{M}}$no es tan fácil de determinar.

esta claro si$\partial \mathcal{M}$no es nulo, entonces tenemos la división ortogonal suave

$$T_p\mathcal{M}=T_p\partial \mathcal{M}\oplus \operatorname{span}N,$$ para todos $p\in\partial\mathcal{M}$. Entonces deja $$X=X^\top+X^\bot, X^\top\in T_p\partial\mathcal{M},X^\bot\in\operatorname{span}N.$$ Después $X^\bot=\alpha N$y $X=X^\top+\alpha N$. Tomando el producto interior con $N$da $$\langle N,X\rangle=\alpha\langle N,N\rangle=\sigma\alpha\implies X=X^\top+\sigma\underbrace{\langle N,X\rangle}_\beta N,$$ dónde $\sigma=+1$si $N$es espacial y $\sigma=-1$es $N$es temporal. De este modo $$i_X\mu=i_{X^\top}\mu+\sigma\beta i_N\mu.$$

Tenga en cuenta ahora que, técnicamente, todo lo que estamos haciendo se está volviendo a poner en$\partial\mathcal{M}$, lo que equivale a la restricción a$\partial\mathcal{M}$. Dejar$\{E_\mu\}_{\mu=2}^n$ser un marco ortonormal en$\partial \mathcal{M}$. Después$X^\top$es una combinación lineal de estos vectores,$X^\top=\sum_{\mu=2}^n c_\mu E_\mu$y

$$i_{X^\top}\mu(E_2,\dotsc,E_n)=\sum_{\mu=2}^nc_\mu\mu(E_\mu,E_2,\dotsc,E_n)=0,$$ debido a la antisimetría total de $\mu$. (Si dos ranuras cualesquiera de un tensor totalmente antisimétrico se llenan con el mismo vector, desaparece.) Por linealidad podemos extender esto a todos los vectores en $T_p\partial\mathcal{M}$. De este modo $i_{X^\top}\mu\restriction_{\partial \mathcal{M}}\equiv 0$y tenemos $$i_X\mu=\sigma\beta i_N\mu\quad(\text{on $\partial\mathcal{M}$}).$$

Dejar$\{E_\mu\}_{\mu=2}^n$ser como arriba, entonces$\{N,\{E_\mu\}_{\mu=2}^n\}$es un marco ortonormal en$\mathcal{M}$. (Uno podría tener que ajustar el signo de un$E_\mu$de modo que$\{N,\{E_\mu\}_{\mu=2}^n\}$está consistentemente orientada.) Entonces

$$i_N\mu(E_2,\dotsc,E_n)=\mu(N,E_2\dotsc,E_n)=1,$$ lo que implica que $i_N\mu$es la orientación canónica $\tilde\mu$por la Prop. 15.24 y la Prop. 15.31 de Lee. Tenga en cuenta una vez más que tomamos $N$estar apuntando hacia afuera aquí. Poniendo todo junto, obtenemos $$\int_{\mathcal{M}}\operatorname{div}X\,\mu=\sigma\int_{\partial\mathcal{M}}\langle N,X\rangle\,\tilde\mu.$$

Ahora tenemos dos casos.

Caso 1. $N$es espacial. Después$\sigma=+1$y hemos terminado.

Caso 2. $N$es temporal. Ahora$\sigma=-1$. Pero entonces

$$-\int_{\partial\mathcal{M}}\langle N,X\rangle\,\tilde\mu=\int_{\partial\mathcal{M}}\langle -N,X\rangle\,\tilde\mu=\int_{\partial\mathcal{M}}\langle N',X\rangle\,\tilde\mu,$$ dónde $N'$es el vector normal que apunta hacia adentro , por la Prop. 5.41 en Lee.

Tenga en cuenta que cambiando el signo de$N$no altera$\tilde\mu$, ya que para que esté consistentemente orientado tomamos la normal hacia afuera. podrías escribir$\tilde\mu=i_{-N'}\mu$Si quieres.

La Proposición 15.31 en Lee da

$$\mu=\sqrt{\lvert g\rvert }\,\mathrm{d}x^1\wedge\cdots\wedge\mathrm{d}x^n,\quad\tilde\mu=\sqrt{\lvert h\rvert}\,\mathrm{d}y^1\wedge\cdots\wedge\mathrm{d}y^{n-1},$$ dónde $(y^1,\dotsc,y^{n-1})$son coordenadas orientadas consistentemente en $\partial\mathcal{M}$.

Así hemos demostrado:

$$\int_\mathcal{M}\nabla_\mu X^\mu\sqrt{\lvert g\rvert }\,\mathrm{d}x^1\wedge\cdots\wedge\mathrm{d}x^n=\int_{\partial\mathcal{M}}N_\mu X^\mu\sqrt{\lvert h\rvert}\,\mathrm{d}y^1\wedge\cdots\wedge\mathrm{d}y^{n-1},$$ dónde $N$apunta hacia adentro si $\partial\mathcal{M}$es espacial y exterior si $\partial\mathcal{M}$es temporal. Tenga en cuenta que, de manera más general, uno puede tomar las integrales sobre cualquier $n$-dimensional $\mathcal{U}\subset\mathcal{M}$con límite $\partial\mathcal{U}$. Esto es porque $(\mathcal{U},g\restriction_\mathcal{U})$es un espacio-tiempo por derecho propio, y la prueba dada arriba funciona para $\mathcal{M}$reemplazado por $\mathcal{U}$y $g$por $g\restriction_\mathcal{U}$.

En cuanto al ejemplo de la página 456 de Carroll: La región$R$está delimitado por hipersuperficies espaciales, por lo que debemos tomar el vector normal apuntando hacia adentro. Entonces lo normal en$\Sigma_2$está dirigido al futuro y es normal en$\Sigma_2$está dirigido al pasado. Pero él está definiendo sus integrales.$\int_{\Sigma_1}$y$\int_{\Sigma_2}$con vectores normales dirigidos al futuro. Entonces la integral$\int_{\Sigma_2}\star J$toma un signo menos de la normal dirigida al pasado.

Para aplicar el teorema de Stokes a la variedad de Lorentz, debemos tomar normales en el límite...

El teorema general de Stokes para formas diferenciales es válido para cualquier variedad orientable con un límite:

$$\int_D d\omega = \int_{\partial D} \omega$$

No se requiere una métrica; entonces es válido para una variedad de Lorentz, una variedad con una métrica de firma (n,1).

La ecuación E19 en Carrolls Spacetime and Geometry se deriva directamente de esto:

Imagine una región de espacio-tiempo de cuatro dimensiones R , definida entre dos hipersuperficies espaciales E1, E2 ; ....; se supone que la parte del límite que conecta las dos hipersuperficies está fuera del infinito, donde todos los campos desaparecen y pueden ignorarse.

La ley de conservación E16 da:

$$\int_R d(*J)= 0$$

Luego directamente por Stokes arriba

$$\int_{\partial R} *J$$

Ahora la hipersuperficie R está hecha de dos componentes E1 y E2 de orientaciones opuestas, entonces:

$$\int_{\partial E1} *J - \int_{\partial E2} *J$$

Lo que nos da la ecuación E19 :

$$=Q1-Q2$$