Discontinuidad de las derivadas métricas en el formalismo de unión de Israel

A menudo se dice que dadas las métricas$g^+$,$g^-$en dos lados de una hipersuperficie$\Sigma$, entonces, con una función de ajuste de nivel$\phi$tal que$\Sigma = \phi^{-1}(0)$, podemos describir la métrica en toda la variedad por

$$\begin{equation} g = \theta(\phi) g^+ + (1 - \theta(\phi)) g^- \tag{1} \end{equation}$$

Y luego, las derivadas de los componentes son simplemente

$$\begin{equation} g_{ab,c} = \partial_c \theta(\phi) (g^+ - g^-) + \theta(\phi) g^+_{ab,c} + (1 - \theta(\phi)) g^-_{ab,c}\tag{2} \end{equation}$$

y como se supone que$g$es continuo,

$$\begin{equation} g_{ab,c} = \theta(\phi) g^+_{ab,c} + (1 - \theta(\phi)) g^-_{ab,c}\tag{3} \end{equation}$$

Entonces se dice que la discontinuidad en las derivadas es

$$\begin{equation} [g_{ab,c}] = \gamma_{ab} n_c\tag{4} \end{equation}$$

para$n$una forma normal de$\Sigma$y$\gamma_{ab}$algún tensor, y la notación corresponde a

$$\begin{equation} [F] = \lim_{p \in M^+ \to \Sigma} F(p) - \lim_{p \in M^- \to \Sigma} F(p)\tag{5} \end{equation}$$

La prueba de esto parece bastante elusiva, pero según Clarke y Dray , esto se deriva del hecho de que para$v$algún campo vectorial tal que$g(v, n) = 0$, con$n$alguna extensión de la forma normal (supongo que a través del paquete normal de la superficie), tenemos

$$\begin{equation} v^c[g_{ab,c}] = v^c [g_{ab}]_{,c} = 0\tag{6} \end{equation}$$

lo que implica entonces que$[g_{ab,c}] = \gamma_{ab} n_c$. No estoy muy seguro de cómo mostrar esto. Ampliando todo, obtengo

$$\begin{equation} (\lim_{p \in M^+ \to \Sigma} \theta v^c g^+_{ab,c} - \lim_{p \in M^- \to \Sigma} (1 - \theta) v^c g^-_{ab,c})\tag{7} \end{equation}$$

coordenadas dadas con vectores tangentes$(n, \partial_\alpha)$, podemos descomponer esto como

$$\begin{equation} v^c g^\pm_{ab,c} = v^\alpha g^\pm_{ab,\alpha}\tag{8} \end{equation}$$

desde$v$no tiene$n$componente. ¿Cómo mostrar que esta cantidad es entonces continua al cruzar la frontera? ¿Necesito definir la primera forma fundamental para cada hipersuperficie?$\Sigma_\varepsilon$a lo largo del paquete normal de coordenadas$\varepsilon$y mostrar que esto es continuo?