Acoplamiento de momento angular: cálculo de coeficientes de Clebsch-Gordan

Si busca en la entrada de Wikipedia los símbolos Wigner 3-j: http://en.wikipedia.org/wiki/Wigner_3-j_symbols

Verá que esos símbolos están relacionados combinando dos estados de espín para obtener un tercer estado:

$\begin{pmatrix} j_1 \, j_2 \, j_3\\ m_1 \, m_2 \, m_3 \end{pmatrix} \equiv \frac{(-1)^{j_1-j_2-m_3}}{\sqrt{2j_3+1}} \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 \, {-m_3} \rangle.$

Ignorando cualquier coeficiente, la interpretación es que las dos primeras columnas son los estados que se suman y la tercera columna es el estado resultante.

Esto nos dice algunas cosas. Primero, nos dice que la suma de la fila inferior debe ser igual a 0. Esto es simplemente la conservación del momento angular (en la dirección z). De este modo,$m_1 + m_2 = m_3$.

Entonces, volviendo a su pregunta original, el símbolo 3-j original se puede expandir a una suma de otros símbolos. Físicamente, esto significa: dadas dos partículas de espín total fijo (en este caso, espín 1 y espín 2), ¿cómo puedo sumarlas para obtener un estado efectivo de espín total 2?

Centrándose solo en la fila inferior, que representa los momentos angulares en la dirección z de las partículas, la primera entrada puede ser 2, 1, 0, -1, -2 (los posibles giros en la dirección z de una partícula de giro 2) y la segunda entrada en la segunda fila solo puede ser 1, 0, -1 (es una partícula de giro 1). Pero estos dos deben sumar 0. Entonces, dadas esas opciones, solo hay tres combinaciones que funcionan: 0 + 0 = 0, 1 + -1 = 0, -1 + 1 = 0. Es por eso que solo esos tres símbolos se enumeran: todos los demás desaparecen.

La interpretación física es: dada una partícula de espín 2 y una partícula de espín 1, puedo combinarlas para formar una partícula efectiva de espín 2 con 0 momentos angulares en la dirección z. Para hacer esto, solo necesito 3 términos en la suma, y ​​el valor de los símbolos 3-j te da los coeficientes de cada término en la suma.