Momento angular: prueba de valores propios enteros o semienteros

Sus puntos, 1-3 están bien. Hay un valor máximo y mínimo de$m$. Llame al valor máximo$M$(tenemos que llamarlo de alguna manera). Ahora podemos aplicar el operador inferior cualquier número de veces, cada vez que reduce el valor de$m$por una cantidad entera entera. El valor máximo y mínimo tienen una diferencia finita$d$. Así que si redondeas$d$hasta el entero más cercano$n$ves que aplicando el operador de descenso$n$los tiempos deben producir el estado de menor$m$(o de lo contrario golpear primero un estado de magnitud cero). Entonces, un número finito de aplicaciones del operador de reducción envió el valor máximo$M$al valor mínimo, por lo que difieren en una cantidad entera (cada vez que bajó,$m$bajó por 1). Entonces los valores máximo y mínimo de$m$difieren por un número entero.

Para mí, esta es la prueba de que$j=M$es un valor entero o medio entero ($n=j-(-j)=2j$). Parece que sus pruebas están al revés y también está tratando de probar una afirmación falsa (que$m$debe ser entero cuando, por ejemplo, el espín de una partícula de espín 1/2 puede tener$m=1/2$).

Para mostrar explícitamente que m=1/2 es posible, sea$J_x=\hbar\sqrt{3/4} \sigma_x$,$J_y=\hbar\sqrt{3/4} \sigma_y$,$J_z=\hbar\sqrt{3/4} \sigma_z$y$J^2=\hbar^23/4\left( \sigma_x^2+\sigma_y^2+\sigma_z^2\right)$. Luego observe que satisfacen las relaciones de conmutación. Luego observe que los valores propios de$J_z$son$\pm \hbar/2$por eso$m=\pm 1/2$por definición.

Por lo tanto, es imposible probar su afirmación deseada de que$m$es un número entero de la hipótesis ya que el párrafo anterior satisface la hipótesis y, sin embargo, la conclusión es falsa como$m=1/2$no es un número entero, pero es un valor perfectamente fino.

Respuesta a la pregunta editada

Si tienes dos valores de$m$que difieren en un número no entero, entonces el operador de reducción aplicado muchas veces a cada uno no puede detenerse en uno y el mismo valor más bajo$m$estado. Así que tendría que haber un estado además del más bajo.$m$estado que es enviado a cero por el operador de descenso.

Muestre (o asuma) que eso no puede suceder y ya casi ha terminado.

Tu punto 1. muestra que si$j$(ficticio$>0$) es el valor máximo de$m$, entonces$-j$es el valor más bajo, es decir, las condiciones son simétricas en$m$.

Tu punto 2. muestra que debes ser capaz de alcanzar$j$de$-j$utilizando un número entero de pasos, que es lo mismo que decir$2j$debe ser un entero.

En cuanto a su pregunta final: dado que probó que$J_\pm$aumente o disminuya en 1, comience con el valor máximo de$m$, cual es$j$y "bajar" usando$J_-$. Solo puedes llegar a estados con$m$valores dados por$j,j-1,\ldots,-j$.

Suponga, por el bien de la discusión, que su$j=4/3$, de modo que$2j$no es un número entero. Aplicar$J_-$produce repetidamente la secuencia de$m$valores$4/3,1/3,-2/3$. Es fácil ver que los más pequeños$m$no es el negativo del mayor$m$; esta secuencia de$m$'s no tiene significado físico ya que invertir el$z$el eje debe simplemente invertir el signo de la proyección$m$, justificando la simetría en el signo de$m$encapsulado en su punto 1. Además, nunca obtiene nada más que$\Delta m=\pm 1$.