¿Cómo es posible la dispersión?

Esto se debe a que, para calcular la matriz de dispersión, estos estados "en" no evolucionan solo con el hamiltoniano que interactúa (lo que los dejaría sin cambios), sino con una mezcla de hamiltonianos libres e interactivos. Tome una situación mucho más simple de un sistema dinámico clásico (dispersión de Rutherford), por ejemplo, una carga puntual que llega al infinito y se dispersa de una carga fija con el mismo signo en una trayectoria que parece una hipérbola. Dejar$X$sea ​​el conjunto de estados (es decir, la posición y la velocidad de la carga en movimiento aquí). La evolución interactuante da un flujo$U(t_2,t_1):X\rightarrow X$Lo que significa que$U(t_2,t_1)(x)$es el estado en el momento$t_2$si$x$era el estado en ese momento$t_1$. Tenga en cuenta que no estoy asumiendo$t_2>t_1$. El flujo satisface la propiedad del semigrupo.

$$U(t_3,t_1)=U(t_3,t_2)\circ U(t_2,t_1)\ .$$ Del mismo modo, si elimina el cargo fijo, obtiene un flujo de evolución libre $U_0(t_2,t_1)$. Claramente cuando pasa el tiempo $\pm\infty$la carga móvil está muy lejos de la fija y por tanto su evolución es aproximadamente libre, es decir $$U(t_2,t_1)\simeq U_0(t_2,t_1)$$ si $t_1,t_2$Ambos son enviados a $-\infty$(o para $+\infty$). El propósito de $S$El operador es relacionar la evolución asintóticamente libre en el pasado infinito con la del futuro infinito. La pregunta es cómo se etiquetan tales asíntotas. una forma natural es usar la posición en el momento $0$. tan dado $x\in X$, los datos de tiempo cero para una evolución libre, asocias una trayectoria libre $t\mapsto U_0(t,0)(x)$. Usando este esquema de etiquetado, ¿cómo se sabe cuál es la asíntota futura? $y$dada esa asíntota pasada $x$? La respuesta es $$y=U_0(0,T)\circ U(T,-T)\circ U_0(-T,0) (x)$$ o más bien el límite de eso cuando $T\rightarrow\infty$. El $S$matriz u operador es el mapa $x\rightarrow y$. Como puede ver, involucra una mezcla de operadores de evolución libres e interactivos. En el marco de las EDO clásicas, esta es básicamente la misma idea que el método de variación de constantes.