¿La acción gravitacional de Chern-Simons es "topológica" o no?

Creo que la declaración en el artículo de Witten, "Teoría cuántica de campos y el polinomio de Jones", dice que el término es topológico en el sentido de que es independiente de la métrica. Sin embargo, también mencionó que para dar sentido a esta integración, es decir, hacer que sea un número, es necesario elegir una trivialización del paquete tangente, es decir, elegir un marco. Lo complicado es que la acción no es invariable bajo la torsión del encuadre. En este sentido, el Chern-Simons gravitacional es de hecho un invariante topológico de 3-variedad con marco elegido.

Bien, si desea invariantes verdaderamente topológicos, puede elegir un coeficiente adecuado para que sea independiente del marco. Por ejemplo, en el documento que mencionaste, si eliges$c=24$, la función de partición será independiente del marco.

Clásicamente son claramente topológicos. La métrica no aparece y no necesita una métrica para que la integración en las variedades tenga sentido. Ahora, en la dimensión 3, puede convertir la acción de Einstein-Hilbert en una teoría de Chern-Simons como dice. La conexión toma sus valores en el álgebra de Lie del grupo de Poincaré.

En dimensiones más altas, necesita usar polinomios invariantes más altos, recuerde que necesita que la integración tenga sentido. De esta manera, puede obtener teorías de dimensiones superiores y esto incluye la acción de Einstein-Hilbert, pero también con términos de curvatura superior.

No hay evidencia experimental para la inclusión de estos términos de mayor curvatura en la gravedad. Sin embargo, son interesantes desde una perspectiva de gravedad cuántica no perturbativa utilizando el flujo de grupo de renormalización y la seguridad asintótica.

Ahora, en la cuantificación de perturbaciones de la teoría de Chern-Simons, necesita una métrica para definir las integrales de trayectoria. Witten en 1989 hizo esto [1]. Obtiene expresiones que dependen de esta elección de métrica, pero luego mostró cómo hacer que todas estas métricas sean independientes agregando otro término.

Referencias [1] Edward Witten, Quantum Field Theory and the Jones Polynomialm 121 (3) (1989) 351–399.

Si bien la pregunta no es una solicitud de recursos, recomendaría el artículo de Edward Witten sobre el tema publicado en 1988, titulado 2+1 Dimensional Gravity as a Soluble System. En el artículo, Witten muestra:

• $2+1$gravedad dimensional con o sin$\Lambda$es soluble clásicamente y a nivel cuántico
• $2+1$la gravedad dimensional está relacionada con una teoría de Yang-Mills con solo un término de Chern-Simons
• A nivel cuántico, tal teoría tiene una función beta que se desvanece

Witten también analiza otras rutas, como la relación con las representaciones del álgebra de Virasoro, que está relacionada con la teoría de campos conforme y la teoría de cuerdas. Finalmente, para responder directamente a su pregunta, si interpretamos los campos como campos de calibre, sí, la acción es un invariante topológico, al menos clásicamente.

La acción gravitacional de Chern-Simons es topológica, sí. La conexión de calibre codifica el campo de gravedad y, dado que se está integrando, el resultado no depende de una métrica. (En las expresiones que escribe, ¿tal vez falta la contribución de vielbein? O tal vez quiere decir haberlo absorbido en la notación). Tenga en cuenta que es solo el término habitual de Chern-Simons que se puede escribir para muchos grupos de calibre, aquí especializado en el el grupo Poincaré o un grupo AdS.

Lo que uno necesita saber para entender lo que está pasando aquí es esto:

1. El funcional de acción de Einstein-Hilbert siempre tiene una formulación de primer orden en términos de vielbeing y conexiones de espín, que no son más que los componentes de una forma 1 con valores en el álgebra de Lie de Poincaré. Más precisamente, el campo de gravedad siempre se puede escribir como una conexión de Cartan para la inclusión del grupo de Lorentz en el grupo de Poincaré.

2. Ahora, cuando uno escribe esta versión de primer orden de la acción de Einstein Hilbert en 3 dimensiones, ocurre un pequeño milagro: resulta ser igual a la acción de Chern-Simons funcional con ese grupo de indicadores. Ver en la gravedad de Chern-Simons .