Acción de supergrupo en AdS5×S5AdS5×S5AdS_5\times S^5

Los generadores fermiónicos, por supuesto, no actúan solo geométricamente en un espacio bosónico; todos los operadores diferenciales que actúan sobre coordenadas bosónicas son bosónicos.

A lo sumo, se podría considerar una extensión superespacial de$AdS_5 \times S^5$pero los superespacios no son demasiado útiles si hay demasiadas supercargas (tienen demasiados componentes). Por lo tanto, es una especie de enfoque erróneo preguntar sobre la acción de las supercargas solo en el espacio-tiempo; uno debe aprender cuál es la acción del supergrupo en el espacio de Hilbert, toda la teoría real, y es bastante sencillo si define el$N=4$teoría del calibre.

Witten, cuando menciona que el grupo que actúa en el AdS-espacio multiplicado por la esfera es el supergrupo, realmente quiere decir que$PSU(2,2|4)$es el (o "a") supergrupo máximo de simetrías que una teoría define en$AdS_5\times S^5$puede tener. Pero seguramente no quiere decir que todos los generadores -los fermiónicos en particular- puedan definirse como operadores diferenciales que actúan únicamente sobre las 10 coordenadas bosónicas de este espacio-tiempo.

Para conocer la terminología de las superálgebras (y los mismos supergrupos), consulte la página 58 de esta revisión de Kac (PDF) .

Finalmente, el extra$P$en$PSU$significa que uno elimina un generador "tipo hipercarga" de bloque diagonal de$SU$. Es similar a la incrustación de$SU(3)\times SU(2)\times U(1)$en$SU(5)$en gran unificación; en el caso de superálgebra, uno puede eliminar consistentemente el$U(1)$aquí, al menos si el número de entradas bosónicas y fermiónicas (dimensiones de la representación fundamental) son iguales. Y es igual, ambos son 4 por$PSU(2,2|4)$. Si marca una pregunta SE sobre un$SU(5)$descomposición aquí

Introducción al contenido físico de representaciones adjuntas

las dimensiones iguales nos permiten establecer las "hipercargas" de las entradas diagonales fuera de bloque (todos los generadores fermiónicos) que fueron$\pm 5/6$arriba a cero y eliminar la "sobrecarga"$U(1)$que acaba de demostrar que se convierte en un centro (generador que conmuta con todos los demás) por completo.

Sin el$P$que significa "proyectivo" , el subgrupo bosónico de$SU(2,2|4)$sería realmente$SU(2,2)\times SU(4)\times U(1)$con el último factor adicional que en realidad se elimina en$PSU$.