¿Cómo surgen las ecuaciones de campo de Einstein de la teoría de cuerdas?

Question

¿Cómo surgen las ecuaciones de campo de Einstein de la teoría de cuerdas?

Neo

La teoría clásica de la geometría del espacio-tiempo que llamamos gravedad está descrita en su esencia por las ecuaciones de campo de Einstein, que relacionan la curvatura del espacio-tiempo con la distribución de materia y energía en el espacio-tiempo.

Por ejemplo: $ds^2=g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$ es un concepto importante en la relatividad general.

Matemáticamente, ¿cómo surgen las ecuaciones de Einstein de la teoría de cuerdas?

Juan Rennie

No es exactamente un duplicado, pero la respuesta de Luboš a physics.stackexchange.com/q/44732 es lo más cercano que obtendrá sin que la respuesta se convierta en un libro sobre teoría de cuerdas.

Neo

@John Rennie lo he visto antes, pero le pido que se centre en la prueba matemática.

Neo

@John Rennie, por ejemplo, cómo derivar esta relación:

d s^{2} = g_{μ ν} x^{μ} x^{ν}

$ds^2=g_{\mu\nu}x^{\mu}x^{\nu}$ de la teoría de cuerdas?

Motl de Luboš

Estimado Neo, la pregunta "cómo derivar

d s^{2} = g \cdot x \cdot x

$ds^2=g\cdot x\cdot x$ "no tiene sentido porque uno siempre puede decir que es una definición de

d s^{2}

$ds^2$ , tanto si se habla de teoría de cuerdas como si no. Uno podría preguntarse por qué esta expresión es constante bajo la transformación de Lorentz, pero también es cierto por la definición del grupo de Lorentz, o debido a las matemáticas básicas, o uno podría preguntarse por qué la teoría de cuerdas es invariante bajo este grupo, lo cual se verifica fácilmente porque define los objetos como la acción están contrayendo muy bien los índices del vector espacio-tiempo.

Motl de Luboš

Como dice John, si hace clic en la pregunta anterior, aprenderá que las ecuaciones de Einstein surgen de la acción efectiva que se puede derivar de la dispersión de amplitudes, o de la desaparición de las funciones beta para las funciones de tensor métrico que son "infinitas muchas funciones de acoplamiento". constantes" de la teoría de la hoja del mundo y la teoría de la hoja del mundo deben ser conformes (invariante de escala). Explicar todas estas cosas con todo lo que uno necesita para entenderlo técnicamente es más o menos equivalente a enseñarle una introducción a la teoría de cuerdas, que es un curso de 1 semestre, no 1 pregunta sobre Stack Exc.

qmecanico

Posible duplicado: physics.stackexchange.com/q/1073/2451

Neo

@LubošMotl

g_{μ ν} (X^{α})

$g_{\mu\nu}(X^{\alpha})$ esto es muy parecido Que significa

(X^{α})

$(X^{\alpha})$ ?

Caballero de la Luna

Aquí

X^{α}

$X^{\alpha}$ es solo un vector contravariante.

Dilatón

Esta pregunta no es un duplicado, pregunta de manera muy específica acerca de cómo se derivan las ecuaciones de Einstein y otras preguntas similares no.

Abhimanyu Pallavi Sudhir

@Qmechanic: No creo que esa pregunta se refiriera a los EFE (o cualquier otra ecuación GR/DG).

Arnold Neumaier

otra respuesta está en physicsoverflow.org/5964

Respuestas (1)

¿Cómo surgen las ecuaciones de campo de Einstein de la teoría de cuerdas?

No es exactamente un duplicado, pero la respuesta de Luboš a physics.stackexchange.com/q/44732 es lo más cercano que obtendrá sin que la respuesta se convierta en un libro sobre teoría de cuerdas.
@John Rennie lo he visto antes, pero le pido que se centre en la prueba matemática.
@John Rennie, por ejemplo, cómo derivar esta relación: $ds^2=g_{\mu\nu}x^{\mu}x^{\nu}$ de la teoría de cuerdas?
Estimado Neo, la pregunta "cómo derivar $ds^2=g\cdot x\cdot x$ "no tiene sentido porque uno siempre puede decir que es una definición de $ds^2$ , tanto si se habla de teoría de cuerdas como si no. Uno podría preguntarse por qué esta expresión es constante bajo la transformación de Lorentz, pero también es cierto por la definición del grupo de Lorentz, o debido a las matemáticas básicas, o uno podría preguntarse por qué la teoría de cuerdas es invariante bajo este grupo, lo cual se verifica fácilmente porque define los objetos como la acción están contrayendo muy bien los índices del vector espacio-tiempo.
Como dice John, si hace clic en la pregunta anterior, aprenderá que las ecuaciones de Einstein surgen de la acción efectiva que se puede derivar de la dispersión de amplitudes, o de la desaparición de las funciones beta para las funciones de tensor métrico que son "infinitas muchas funciones de acoplamiento". constantes" de la teoría de la hoja del mundo y la teoría de la hoja del mundo deben ser conformes (invariante de escala). Explicar todas estas cosas con todo lo que uno necesita para entenderlo técnicamente es más o menos equivalente a enseñarle una introducción a la teoría de cuerdas, que es un curso de 1 semestre, no 1 pregunta sobre Stack Exc.
@LubošMotl $g_{\mu\nu}(X^{\alpha})$ esto es muy parecido Que significa $(X^{\alpha})$ ?
Esta pregunta no es un duplicado, pregunta de manera muy específica acerca de cómo se derivan las ecuaciones de Einstein y otras preguntas similares no.
@Qmechanic: No creo que esa pregunta se refiriera a los EFE (o cualquier otra ecuación GR/DG).

Abhimanyu Pallavi Sudhir · Answer 1

(ver también: La Relatividad General desde el Punto de Vista de la Teoría de Cuerdas )

$\mbox ds^2=g_{\mu\nu}\mbox dx^{\mu}\mbox dx^{\nu}$ es un hecho definitorio de la geometría de Riemann y no tiene nada que ver con la gravedad. La "física" de la Relatividad General está contenida en las ecuaciones de campo de Einstein. $G_{\mu\nu}=8\pi T_{\mu\nu}$ , o de manera equivalente la acción de Einstein-Hilbert $\mathcal{L}=\frac1{16\pi}R$ .

Deducir estos resultados de la acción de Polyakov es difícil, pero hay un enfoque estándar más simple que encontrará en muchos libros de texto. En la teoría de cuerdas, el Dilaton se acopla a la hoja del mundo.

S_{Φ} = \frac{1}{4 π} \int d^{2} σ \sqrt{- h} R Φ (X)

$S_\Phi = \frac1{4\pi} \int d^2 \sigma \sqrt{-h} R \Phi(X)$

La ruptura de la simetría conforme en esta acción se puede resumir en 3 funciones conocidas como funciones beta. En la teoría de cuerdas de tipo IIB, las funciones beta son:

β_{m v} (gramo) = ℓ_{PAGS}^{2} (R_{m v} + 2 \nabla_{m} \nabla_{v} Φ - H_{m λ k} H_{v}^{λ k})

${\beta _{\mu \nu }}\left( g \right) = \ell _P^2\left( {{R_{\mu \nu }} + 2{\nabla _\mu }{\nabla _\nu }\Phi - {H_{\mu \lambda \kappa }}H_\nu {}^{\lambda \kappa }} \right)$

β_{m v} (F) = \frac{ℓ_{PAGS}^{2}}{2} \nabla^{λ} H_{λ m v}

${\beta _{\mu \nu }}\left( F \right) = \frac{{\ell _P^2}}{2}{\nabla ^\lambda }{H_{\lambda \mu \nu }}$

β (Φ) = ℓ_{PAGS}^{2} (- \frac{1}{2} \nabla_{m} \nabla_{v} Φ + \nabla_{m} Φ \nabla^{m} Φ - \frac{1}{24} H_{m v λ} H^{m v λ})

$\beta \left( \Phi \right) = \ell _P^2\left( { - \frac{1}{2}{\nabla _\mu }{\nabla _\nu }\Phi + {\nabla _\mu }\Phi {\nabla ^\mu }\Phi - \frac{1}{{24}}{H_{\mu \nu \lambda }}{H^{\mu \nu \lambda }}} \right)$

Establecer estas funciones en cero (es decir, para requerir simetría conforme, esperando obtener las ecuaciones de campo de Einstein del vacío):

R_{m v} + 2 \nabla_{m} \nabla_{v} Φ - H_{m v λ k} H_{v}^{λ k} = 0.

${{R_{\mu \nu }} + 2{\nabla _\mu }{\nabla _\nu }\Phi - {H_{\mu \nu \lambda \kappa }}H_\nu ^{\lambda \kappa }} = 0.$

\nabla^{λ} H_{λ m v} = 0 .

${\nabla ^\lambda }{H_{\lambda \mu \nu }} = 0 .$

- \frac{1}{2} \nabla_{m} \nabla_{v} Φ + \nabla_{m} Φ \nabla^{m} Φ - \frac{1}{24} H_{m v λ} H^{m v λ} = 0 .

${ - \frac{1}{2}{\nabla _\mu }{\nabla _\nu }\Phi + {\nabla _\mu }\Phi {\nabla ^\mu }\Phi - \frac{1}{{24}}{H_{\mu \nu \lambda }}{H^{\mu \nu \lambda }}} = 0 .$

La primera de estas ecuaciones es una forma corregida del vacío EFE, y las ecuaciones restantes representan ecuaciones análogas para otros campos.

Si desea derivar la función beta, use las coordenadas normales de Riemann, esta es la mejor manera. Está descrito en Wikipedia, luego el cálculo de la función beta es pan comido (relativamente, una vez que descubres lo que estás haciendo exactamente).

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Neo

Juan Rennie

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Neo

Motl de Luboš

Motl de Luboš

qmecanico

Neo

Caballero de la Luna

Dilatón

Abhimanyu Pallavi Sudhir

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Abhimanyu Pallavi Sudhir

Ron Maimón

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