(1/2,0)(1/2,0)(1/2, 0) representación del Grupo Lorentz SO(1,3)SO(1,3)SO(1,3)

Esto es lo que sucede cuando los físicos intentan hacer teoría de grupos pero no se molestan en introducir las nociones matemáticas adecuadas.

1. No hay isomorfismo entre$\mathrm{SO}(1,3)$y$\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)$, el primero no es compacto, el segundo es compacto. Más sobre este tema aparentemente confuso se puede encontrar en esta respuesta . Además, usando el símbolo del tensor$\otimes$es incorrecto, el producto es un producto directo, no un producto tensorial, de grupos, vea también esta pregunta .

2. Lo cierto es que hay una equivalencia de representaciones de dimensión finita de las álgebras$\mathfrak{so}(1,3)$y$\mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2)$, este último es la forma real compacta de la complejización del primero. De hecho, el mapa entre ellos se da usando$N_i^\pm = \frac{1}{2}(J_i \pm\mathrm{i}K_i)$como la base de este último en términos de la base$J_i,K_i$del primero Esto tampoco es un isomorfismo de las álgebras de Lie, es solo que las representaciones de dimensión finita de estas álgebras son equivalentes.

3. Se supone que el argumento en la parte que te confunde es el siguiente: se te da la$(1/2,0)$representación$\rho : \mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2)\to\mathfrak{gl}(\mathbb{C}^2)$. Desde$\rho$, como representación, es un homomorfismo del álgebra de Lie, sabes que$\rho(N_i^-) = 0$implica$\rho(J_i) = \mathrm{i}\rho(K_i)$. Aquí, todas las matrices$N_i^-,J_i,K_i,0$Las matrices son matrices bidimensionales en$\mathbb{C}^2$. Tú lo sabes$\rho(N_i^-) = 0$como matrices bidimensionales debido a cómo el$(s_1,s_2)$se define la representación: Tomar las representaciones individuales$\rho^+ : \mathfrak{su}(2)\to\mathfrak{gl}(\mathbb{C}^{2s_1+1})$y$\rho^- : \mathfrak{su}(2)\to\mathfrak{gl}(\mathbb{C}^{2s_2+1})$y definir el mapa de representación total por

   $$\rho : \mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2)\to\mathfrak{gl}(\mathbb{C}^{2s_1+1}\otimes\mathbb{C}^{2s_2+1}), h\mapsto \rho^+(h)\otimes 1 + 1 \otimes \rho^-(h)$$ donde realmente me refiero al producto tensorial de espacios vectoriales con$\otimes$. Para$s_1 = 1/2,s_2 = 0$, esta es una representación bidimensional donde$\rho^-$es idénticamente cero - y el cero es la matriz cero bidimensional en las matrices de dos por dos$\mathfrak{gl}(\mathbb{C}^2)$.