¿Por qué se compara Rcosa=mgRcos⁡a=mgR\cos{a} = mg en movimiento circular y no R=mgcosaR=mgcos⁡aR = mg\cos{a}?

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Normalmente, si un objeto de masa metro está inclinado con la horizontal en un ángulo b , establecemos la fuerza de reacción del objeto en el plano inclinado como R = metro gramo porque ⁡ b (si resolvemos la fuerza de gravedad de manera que la línea de acción que sale del plano sea perpendicular a él).

Sin embargo en movimiento circular*. se supone que R porque ⁡ b = metro gramo . En el ejemplo anterior, uno tendría que hacer esto para llegar a la respuesta correcta, en lugar de R = metro gramo porque ⁡ b . Usando R = metro gramo porque ⁡ b parece bastante natural, ya que estoy resolviendo verticalmente, sin embargo, ambas ecuaciones producirían dos valores diferentes para R . ¿Por qué es esto?

Para mostrar lo que quiero decir: si establecemos la fuerza de reacción en esta pregunta como metro gramo porque ⁡ a , entonces la fuerza centrípeta será metro gramo porque ⁡ b porque ⁡ ( π / 2 − b ) = metro gramo porque ⁡ b pecado ⁡ b = 1 2 metro gramo pecado ⁡ ( 2 b )

Mientras que si usamos R porque ⁡ b = metro gramo , R = metro gramo segundo ⁡ b y la fuerza centrípeta será metro gramo segundo ⁡ b pecado ⁡ b = metro gramo broncearse ⁡ b . Esto terminará con dos valores diferentes para el radio del movimiento circular y, por lo tanto, dos respuestas finales diferentes.

*En las preguntas de movimiento circular que he visto en mi módulo de mecánica

Entiendo que obviamente hay algo que no entiendo, pero no puedo resolverlo.
"Establecemos la fuerza de reacción del objeto en el plano inclinado como R=mgcosa" no lo estableces : descompones el vector a lo largo de sus componentes. Al hacerlo en un escenario caso por caso, la ecuación cambia según la geometría.
@GennaroTedesco Veo dónde me equivoqué. Por cierto, después de descomponer un vector en componentes, ¿tiene sentido descomponer también los componentes?
Descomponer los componentes... ¿en qué?
@GennaroTedesco En otros componentes
Bueno, podrías volver a descomponer todo tantas veces como quieras, pero no hay razón. Una vez que tenga los componentes (a lo largo de cualquier eje), simplemente escriba las ecuaciones de movimiento y resuélvalos (para eso sirve toda la descomposición).

Respuestas (3)

Nunca, nunca, memorice fórmulas a ciegas.

Lo que debe hacer es dibujar un diagrama de cuerpo libre de su partícula, que tendrá una fuerza normal en ángulo y una fuerza gravitacional hacia abajo, y sabrá que la aceleración neta es hacia adentro con una magnitud v 2 / r . Puedes rotar tu marco de referencia para que la fuerza normal esté hacia arriba y la fuerza gravitatoria esté inclinada, o resolver las dos ecuaciones, eliminando la fuerza normal.

De cualquier manera, llegarás a una respuesta. Pero el texto de la pregunta presupone que puedes memorizar una fórmula para una situación. Nunca hagas esto, mira una situación y encuentra la respuesta. Terminarás equivocándote tantas veces como no lo hagas si tratas de resolver los problemas de la manera en que pareces hacerlo, porque todo lo que se necesita para estar equivocado es que alguien etiquete un ángulo de una manera divertida o use una convención ligeramente diferente.

Nunca memorizo ​​ciegamente la fórmula. Simplemente fui directo al grano y asumí que los lectores sabrían a qué me refiero cuando dije que R puede expresarse como mgcosa. Mi punto es que la fuerza de reacción (R) ¿no debería tener el mismo valor sin importar qué método (siempre que sea correcto) use para llegar a ella? Si uso los dos valores diferentes que mencioné anteriormente, mi fuerza centrípeta será diferente y llegaré a dos respuestas diferentes (por cierto, el movimiento circular no tiene un radio de 3a).
Nunca especificas qué es "a" bajo seno o coseno. De los datos dados, a parece ser una longitud y no un ángulo. Este es un ejemplo del uso de fórmulas "a ciegas".
@nasu Mi error, modificado.
El hecho de que le cambies el nombre no ayuda a identificarlo. El uso de seno o coseno depende de qué ángulo estés hablando.
@nasu b es el ángulo del cono con la horizontal.
Lo miré de nuevo y me di cuenta de que R no es igual a mgcosb; de lo contrario, no se movería bajo el movimiento centrípeto. Lo admito, me apresuré a saltar al hecho de que la fuerza de reacción siempre debe ser igual a ese valor.

El consejo de @JerrySchirmer es generalmente bueno y vale la pena prestarle atención. Si realmente construye los diagramas de cuerpo libre para una partícula en un plano inclinado y su partícula en un cono, notará la siguiente diferencia importante:

  • Una partícula en reposo sobre un plano inclinado (o deslizándose por un plano inclinado) tiene un vector de aceleración paralelo a la superficie.
  • Su partícula que se mueve alrededor del interior de un cono, por otro lado, no tiene un vector de aceleración paralelo a la superficie: en cambio, está acelerando horizontalmente hacia el centro del círculo.

En ambos casos, puede usar el hecho de que la partícula no está acelerando en la "otra" dirección (perpendicular al plano para el plano inclinado; verticalmente para el cono) para escribir una relación entre el peso de la partícula y la fuerza de reacción. Pero estas ecuaciones respectivas tratan con los componentes de esas fuerzas en diferentes direcciones, por lo que resultan diferentes entre sí.

Paralelo a la superficie es lo mismo que tangencial a la superficie... en este caso tiene aceleración tangencial pero no aceleración vertical... entonces, ¿cómo es que no está acelerando en paralelo a la superficie?

Primero, veamos la diferencia entre dos escenarios:

Caso 1: Una caja está parada sobre un plano inclinado. En este caso, el tipo de movimiento al que intentamos oponernos es el de la caja deslizándose por el plano inclinado, es decir, el efecto de la fuerza de gravedad sobre la caja. No divida el peso en componentes paralelos y perpendiculares todavía. Dibuja la fuerza normal y la fuerza de fricción. Luego dibuja su suma. Puedes ver que su suma es vertical, opuesta a la dirección de la fuerza de gravedad sobre la caja. Si esta suma es lo suficientemente grande, contrarrestará por completo la fuerza de la gravedad en la caja y evitará que se deslice hacia arriba o hacia abajo.

Caso 2: Un automóvil se mueve alrededor de una carretera peraltada/pista de carreras, sin fricción (coeficiente de fricción = 0). En este caso, los tipos de movimiento que estamos tratando de oponer son:

  1. El automóvil deslizándose por la pendiente, debido al efecto de la fuerza de gravedad sobre el automóvil.
  2. El coche se sale de su trayectoria circular y se sale de la carretera.

Nuevamente, dibuje la fuerza de peso/gravedad en el automóvil sin separarlo en sus componentes. Una fuerza vertical (o suma vertical de fuerzas) en la dirección opuesta necesita contrarrestar esta fuerza. ¿Qué está tocando el auto (por fuera)? ¡Solo el camino debajo de él! Y no hay fricción, por lo que la fuerza vertical solo puede ser la componente vertical (y) de la fuerza normal/la fuerza ejercida por la carretera sobre el automóvil. ¡Pero todavía necesitamos una fuerza centrípeta horizontal para mantener el automóvil en una trayectoria circular! De nuevo, lo único que puede suministrar esta fuerza horizontal es la fuerza normal/la fuerza de la carretera sobre el automóvil. Entonces la fuerza normal debe tener una componente horizontal que proporcione la fuerza centrípeta necesaria.

Con suerte, puedes ver la diferencia entre estos dos escenarios.

Ahora derivemos las fórmulas respectivas para cada uno de estos escenarios.

Caso 1: Dibujar el vector que representa el peso de la caja. Divide este vector en sus componentes paralela y perpendicular. La fuerza normal contrarresta el componente perpendicular, que es igual a mg * cos(theta) , donde theta es el ángulo de inclinación. La fricción contrarresta la componente paralela, que es igual a mg * sin(theta).

Caso 2: Dibuje el vector que representa el peso del automóvil (no sus componentes). En este caso, no tenemos fricción, por lo que todo el peso del automóvil (no solo la componente perpendicular) debe contrarrestarse solo con la componente vertical de la fuerza normal. Así F_n,y = mg. Usando geometría simple, podemos encontrar que el ángulo entre la fuerza normal neta (por definición, perpendicular a la carretera) y su componente vertical es igual a theta, el ángulo de la pendiente. Por lo tanto, F_n = mg/cos(theta) .

¡Espero que esto ayude! Yo también estuve atascado en esto por un tiempo, y decidí anotar el proceso de pensamiento por el que pasé para aclararme las cosas. :)

¿Por qué se compara Rcosa=mgRcos⁡a=mgR\cos{a} = mg en movimiento circular y no R=mgcosaR=mgcos⁡aR = mg\cos{a}?
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