(A,B)(A,B)(A,B)-Representación del Grupo Lorentz: Funciones coeficiente de campos

Las relaciones entre los cuatro índices vectoriales dimensionales y los$(a,b)$Los índices se pueden encontrar de esta manera. Primero permítanme definir las matrices de Pauli de cuatro dimensiones$\sigma^\mu_{ab}$. tienen un$a$índice de tipo, un$b$índice de tipo y un$\mu$índice (por lo que interpolan entre el$(1/2,1/2)$y el vector).

$$\begin{align} \sigma^0 &= \left(\begin{array}{cc} -1 & 0\\ 0 & -1\end{array}\right)\,,& \sigma^1 &= \left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0\end{array}\right)\,,\\ \sigma^2 &= \left(\begin{array}{cc} 0 & -i\\ i & 0\end{array}\right)\,,& \sigma^3 &= \left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & -1\end{array}\right)\,. \end{align}$$ Permítanme definir también las matrices conjugadas como$\bar{\sigma}^{\mu ba} = ( \sigma^0, -\sigma^{1,2,3})$. Un vector de Lorentz se puede convertir en notación bispinor $$\mathrm{v}_{ab} = \sigma^{\mu}_{ab} v_\mu\,,\quad v^\mu = -\mbox{$\frac{1}{2}$}\,\mathrm{v}_{ab} \bar{\sigma}^{\mu ba}\,,\quad\det(\mathrm{v}_{ab}) = -v^2\,.$$ Representación irreducible de la forma.$(A,B)$son tensores con$2A$ $a$índices de tipo y$2B$ $b$índices de tipos y$a$índices están simetrizados entre sí, así como los$b$índices. Entonces algo como $$\mathrm{v}_{(a_1\ldots a_A)(b_1\ldots b_B)}\,.$$ Desde$a$y$b$tomar valores$1,2$la antisimetrización es equivalente a la contracción con$\epsilon_{a_1a_2}$o$\epsilon_{b_1b_2}$así no tenemos representaciones irreducibles con índices antisimetrizados.

Si$A=B$, para obtener un tensor de Lorentz a partir de él basta con contratar con matrices de Pauli

$$v^{\mu_1\ldots \mu_{A}} = \left(-\frac{1}{2}\right)^A \bar{\sigma}^{\mu_1 a_1b_1}\cdots \bar{\sigma}^{\mu_A a_Ab_A}\mathrm{v}_{(a_1\ldots a_A)(b_1\ldots b_A)}\;.$$ si en cambio$A\neq B$podemos contraer tantos índices como sea posible con matrices de Pauli dejando$|A-B|$ $a$o$b$índices no contraídos. Para el Rarita-Schwinger$(A,B) = (1,1/2)\oplus(1/2,1)$. tenemos entonces $$\psi^\mu_{a_2} = \bar{\sigma}^{\mu a_1 b_1} \Psi_{(a_1 a_2) b_1}\,,\qquad \psi^\mu_{b_2} = \bar{\sigma}^{\mu a_1 b_1} \Psi_{a_1(b_1 b_2)}\,.$$ Esto conducirá a expresiones que son totalmente simétricas en el$\mu$índices. Sabemos que también hay representaciones con los índices antisimetrizados. Para esos podemos definir otros dos objetos. $$\sigma^{\mu\nu\phantom{a_1}a_2}_{\phantom{\mu\nu}a_1} = \frac{1}{4}\left(\sigma^{\mu}_{a_1b}\bar{\sigma}^{\nu b a_2} - \sigma^{\nu}_{a_1b}\bar{\sigma}^{\mu b a_2}\right)\;,\qquad \bar{\sigma}^{\mu\nu b_1}_{\phantom{\mu\nu b_1}b_2} = \frac{1}{4}\left(\bar{\sigma}^{\mu b_1a}\sigma^{\nu}_{a b_2} - \bar{\sigma}^{\nu b_1a}\sigma^{\mu}_{a b_2} \right)\;.$$ No conozco un procedimiento general para reducir cada$(A,B)$tensor a$\mu$tensores, pero te puedo dar un ejemplo para la representación de la fuerza de campo$(A,B) = (1,0)\oplus(0,1)$. Vocación$F^{\mu\nu}$el componente auto-dual y$\tilde{F}^{\mu\nu}$el componente anti-auto-dual que tenemos $$F^{\mu\nu} = \sigma^{\mu\nu a_1 a_2} \mathrm{F}_{(a_1 a_2)}\,,\quad \tilde{F}^{\mu\nu} = \bar{\sigma}^{\mu\nu b_1 b_2} \mathrm{F}_{(b_1 b_2)}\,.$$ El$a$y$b$los índices se suben y bajan con las dos dimensiones$\epsilon$tensor. Permítanme recordar también la definición de autodual y anti-autodual: $$\varepsilon^{\mu\nu\rho\lambda}F_{\rho\lambda} = -2 i F^{\mu\nu}\,,\qquad \varepsilon^{\mu\nu\rho\lambda}\tilde{F}_{\rho\lambda} = 2 i \tilde{F}^{\mu\nu}\;.$$ Esta notación es un poco difícil de asimilar, pero es muy precisa. La convención estándar se explica en detalle en uno de los apéndices de Supersymmetry and Supergravity de Wess & Bagger. En sus convenciones$a$los índices se denotan$\alpha,\beta,\ldots$y$b$índices como$\dot{\alpha},\dot{\beta}\ldots$.