Representaciones irreductibles del grupo Lorentz

Para el álgebra de Poincaré existen (hasta donde yo sé) dos enfoques diferentes para encontrar sus representaciones. En el primer enfoque, se parte de una representación de dimensión finita del álgebra de Lorentz (complejada), y usándola se construye una representación en el espacio de algunos campos en el espacio de Minkowski. La representación así obtenida no suele ser irreducible y se obtiene una representación irreducible a partir de ella a través de alguna ecuación diferencial. Por ejemplo, el espacio de campos masivos de Dirac que satisfacen la ecuación de Dirac forman una representación irreducible del grupo de Poincaré (agregado más tarde: la última declaración no es del todo correcta).

Otro enfoque es encontrar la representación espacial de Hilbert (irreducible, unitaria) del componente de identidad del álgebra de Poincaré mediante el llamado "método de grupos pequeños". Esto es lo que está haciendo Weinberg en las páginas 62-64 del volumen 1 de su libro QFT. La idea de este enfoque es la siguiente:

En el espacio de momento fija un hiperboloide$S_m=\{p|p^2=m^2,p_0 \geq 0\}$correspondiente a una masa dada (no negativa)$m$. (nota: aquí estoy usando firma$(1,-1,-1,-1)$)

Elija un impulso de 4$k$en$S_m$. Dejar$G_k$Sea el subgrupo máximo de (el componente de identidad) del grupo de Lorentz tal que$G_k$correcciones$k$. es decir, para cada transformación de Lorentz$\Lambda\in G_k$tenemos$\Lambda k=k$.$G_k$se llama pequeño grupo correspondiente a 4-momentum$k$.

Dejar$V_k$ser una representación irreducible de dimensión finita fija de$G_k$(o doble cubierta de$G_k$)$^{**}$. Fijar una base de este espacio vectorial$|k,1\rangle,|k,2\rangle,\ldots,|k,n\rangle$dónde$n$es la dimensión (compleja) de$V_k${tenga en cuenta que$k$es un vector fijo, y no una variable.}

Ahora para todos los demás$p\in S_m$introducir un espacio vectorial$V_p$que está atravesado por la base$|p,1\rangle,|p,2\rangle,\ldots,|p,n\rangle\;.$

La representación del espacio de Hilbert de (el componente de identidad de) el grupo de Poincaré ahora se construye pegando estos espacios vectoriales$V_p$'s juntos. Esto se hace de la siguiente manera: -

yo) Definir$H$ser la suma directa de$V_p$'s.

ii) Por cada$p\in S_m$arreglar una transformación de Lorentz$L_p$que te lleva de$k$a$p$, es decir$L_p(k)=p$. También fija un número$N(p)$(esto se usa para fijar una normalización adecuada para los estados base). En particular, tome$L_k=I$.

iii) Definir operador$U(L_p)$correspondiente a$L_p$en$V_k$como :-

$U(L_p)|k,\sigma\rangle =N(p)^{-1}|p,\sigma\rangle,\:\sigma=1,\ldots,n\tag1$

Esto sólo define la acción de$L_p$está en el subespacio$V_k$de$H$. Pero, de hecho, esta definición se extiende únicamente a la acción de la totalidad del (componente de identidad del) grupo de Poincaré sobre la totalidad de$H$como sigue --

Suponer$\Lambda$ser CUALQUIER transformación de Lorentz en el componente de identidad del grupo de Lorentz, y$|p,\sigma\rangle$sea ​​cualquier estado base. Entonces (todos los siguientes pasos son del libro de Weinberg):

Ahora tenga en cuenta que$L_{\Lambda p}^{-1}.\Lambda.L_p$es un elemento de$G_k${verifícalo} y$V_k$es la representación irreductible de$G_k$. Asi que$U(L_{\Lambda p}^{-1}.\Lambda.L_p)|k,\sigma\rangle$está de nuevo en$V_k$; y de (1) sabemos cómo$U(L_{\Lambda p})$actúa sobre$V_k$; así sabemos lo que es$U(\Lambda)|p,\sigma\rangle\;.$

En resumen, la idea del método del grupo pequeño es construir representaciones espaciales de Hilbert irreducibles del componente de identidad del grupo de Poincaré a partir de representaciones irreducibles de dimensión finita del grupo pequeño correspondientes a cuatro momentos fijos.

$^{**}$Si$V_k$no es una representación adecuada de$G_k$pero es una representación de la doble portada$\mathcal{G}_k$de$G_k$entonces también tendremos que especificar una sección$G_k\to \mathcal{G}_k$del mapa de cobertura para que sepamos cómo$G_k$actúa sobre$V_k$.

Con respecto a la discusión de estados propios de impulso y la siguiente derivación en el libro de Weinberg,$\sigma$es solo una etiqueta que denota cualquier grado de libertad que no sea impulso. Aunque puede identificarse con el giro, su naturaleza no es relevante para la discusión que nos ocupa.