Límite sin masa para el campo de Dirac

Question

Límite sin masa para el campo de Dirac

Física
espinores
lorentz-simetría
relatividad especial
teoría cuántica de campos
teoría de la representación

LFH

Estoy un poco confundido acerca de cómo tomar el límite sin masa del campo de Dirac:

\begin{aligned} ψ (X) = \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{2}} \frac{1}{\sqrt{{mi}_{pag}}} \sum_{s} (a_{pag}^{s} {tu}^{s} (pag) {mi}^{- i pag X} + b_{pag}^{s †} v^{s} (pag) {mi}^{i pag X}), \end{aligned}

$\begin{align} \psi(x)=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^2}\frac{1}{\sqrt{E_p}}\sum_{s}\left(a_p^su^s(p)e^{-i p x}+b_p^{s\dagger}v^s(p)e^{ip x}\right)\,,\label{Dirac} \end{align}$

EDITADO: ¿Cuáles son los correctos? $u^s(p)$ y $v^s(p)$ si la masa es cero? Para partículas masivas, Peskin & Schroeder da la expresión:

\begin{aligned} {tu}^{s} (pag) = (\begin{matrix} \sqrt{pag \cdot σ} ξ^{s} \\ \sqrt{pag \cdot \bar{σ}} ξ^{s} \end{matrix}), v^{s} (pag) = (\begin{matrix} \sqrt{pag \cdot σ} η^{s} \\ - \sqrt{pag \cdot \bar{σ}} η^{s} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} u^s(p)=\left(\begin{array}{c} \sqrt{p\cdot \sigma}\,\xi^s\\ \sqrt{p\cdot \overline{\sigma}}\,\xi^s \end{array}\right)\,,\qquad v^s(p)=\left(\begin{array}{c} \sqrt{p\cdot \sigma}\,\eta^s\\ -\sqrt{p\cdot \overline{\sigma}}\,\eta^s \end{array}\right) \end{align}$ Si tomo el límite sin masa para

u^{s} (p)

$u^s(p)$ con

p

$p$ apuntando en el

z

$z$ -dirección, encuentro

\begin{aligned} {tu}^{1} (\vec{pag}) = \sqrt{mi} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), {tu}^{2} (\vec{pag}) = \sqrt{mi} (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), \end{aligned}

$\begin{align} u^1(\vec{p})=\sqrt{E}\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\\0 \end{array}\right)\,,\quad u^2(\vec{p})=\sqrt{E}\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\0 \end{array}\right)\,, \end{align}$ donde usé

ξ^{1} = (1, 0)

$\xi^1=(1,0)$ y

ξ^{1} = (0, 1)

$\xi^1=(0,1)$ . Si hago lo mismo con el

v

$v$ , Encuentro

\begin{aligned} v^{1} (\vec{pag}) = \sqrt{mi} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}), v^{2} (\vec{pag}) = \sqrt{mi} (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) . \end{aligned}

$\begin{align} v^1(\vec{p})=\sqrt{E}\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ -1\\0 \end{array}\right)\,,\quad v^2(\vec{p})=\sqrt{E}\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\0 \end{array}\right)\,. \end{align}$ Esto significa que no tenemos

{\bar{u}}^{i} (p) v^{j} (p) = 0

$\overline{u}^i(p)v^j(p)=0$ . Pensé que por cada impulso fijo

p

$p$ , los conjuntos de espinores

v^{i} (p)

$v^i(p)$ y

u^{i} (p)

$u^i(p)$ abarcar con

i = 1, 2

$i=1,2$ cada uno abarca un espacio bidimensional, a saber

s p a n (v^{1} (p), v^{2} (p))

$\mathrm{span}(v^1(p),v^2(p))$ y

s p a n (u^{1} (p), u^{2} (p))

$\mathrm{span}(u^1(p),u^2(p))$ que son ortogonales entre sí. Sin embargo, desde los límites anteriores parece que este ya no fuera el caso en el límite sin masa (momento muy grande). ¿Tomé los límites incorrectamente o me perdí un punto crucial?

prahar

Voto para cerrar esta pregunta como fuera de tema porque muestra una investigación insuficiente. Estos temas se discuten en prácticamente cualquier libro de QFT que elija (sugiero Srednicki).

LFH

Tal vez mi pregunta no estaba muy bien formulada. Usé Peskin & Schroeder y encontré la discusión del límite sin masa, donde explican que los espinores se vuelven degenerados. Permítanme reformular mi pregunta un poco. Todavía es una pregunta simple, pero no completamente trivial (al menos no para mí en este momento).

prahar

u

$u$ y

v

$v$ nunca mezcle bajo transformaciones de Lorentz ortocrónicas adecuadas, independientemente de si

p

$p$ sin masa o masivo.

LFH

Hola Prahar, creo que no me expliqué muy bien. Claramente, para diferentes momentos

v

$v$ y

u

$u$ puede mezclar Dado

u^{s} (p)

$u^s(p)$ y

v^{r} (q)

$v^r(q)$ , puede haber superposición entre ellos. Por el mismo momento

p

$p$ ,

u^{s} (p)

$u^s(p)$ y

v^{r} (p)

$v^r(p)$ abarcan subespacios ortogonales. Sin embargo, de alguna manera no pude tomar correctamente el límite sin masa y parece que los espacios se mezclan en el límite sin masa. De eso se trataba principalmente mi pregunta.

higgsss

Observe que las "funciones de onda espaciales" correspondientes a

u (p)

$u(\textbf{p})$ y

v (p)

$v(\textbf{p})$ son respectivamente

e^{i p \cdot r}

$e^{i\textbf{p} \cdot \textbf{r}}$ y

e^{- i p \cdot r}

$e^{-i\textbf{p} \cdot \textbf{r}}$ . Debido a que las "funciones de onda espacial" para

u (p)

$u(\textbf{p})$ y

v (- p)

$v(-\textbf{p})$ son iguales, las correspondientes partes del espinor, que son

u (p)

$u(\textbf{p})$ y

v (- p)

$v(-\textbf{p})$ mismos, tienen que ser ortogonales entre sí, como es el caso.

Respuestas (1)

Límite sin masa para el campo de Dirac

Voto para cerrar esta pregunta como fuera de tema porque muestra una investigación insuficiente. Estos temas se discuten en prácticamente cualquier libro de QFT que elija (sugiero Srednicki).
Tal vez mi pregunta no estaba muy bien formulada. Usé Peskin & Schroeder y encontré la discusión del límite sin masa, donde explican que los espinores se vuelven degenerados. Permítanme reformular mi pregunta un poco. Todavía es una pregunta simple, pero no completamente trivial (al menos no para mí en este momento).
$u$ y $v$ nunca mezcle bajo transformaciones de Lorentz ortocrónicas adecuadas, independientemente de si $p$ sin masa o masivo.
Hola Prahar, creo que no me expliqué muy bien. Claramente, para diferentes momentos $v$ y $u$ puede mezclar Dado $u^s(p)$ y $v^r(q)$ , puede haber superposición entre ellos. Por el mismo momento $p$ , $u^s(p)$ y $v^r(p)$ abarcan subespacios ortogonales. Sin embargo, de alguna manera no pude tomar correctamente el límite sin masa y parece que los espacios se mezclan en el límite sin masa. De eso se trataba principalmente mi pregunta.
Observe que las "funciones de onda espaciales" correspondientes a $u(\textbf{p})$ y $v(\textbf{p})$ son respectivamente $e^{i\textbf{p} \cdot \textbf{r}}$ y $e^{-i\textbf{p} \cdot \textbf{r}}$ . Debido a que las "funciones de onda espacial" para $u(\textbf{p})$ y $v(-\textbf{p})$ son iguales, las correspondientes partes del espinor, que son $u(\textbf{p})$ y $v(-\textbf{p})$ mismos, tienen que ser ortogonales entre sí, como es el caso.

Nombre AAAA · Answer 1

Por definición, el coeficiente $u_{s}(p)$ es el espinor delante de $e^{-ipx}$ , mientras que el coeficiente $v_{s}(p)$ es el espinor delante de $e^{ipx}$ . No hay transformaciones continuas de Lorentz que cambien el signo de la energía y, por lo tanto, su declaración sobre la mezcla de $u_{s}(p)$ y $v_{s}(p)$ no está claro.

Por otro lado, nótese que para cualquier masa, la existencia del término $v_{s}(p)e^{ipx}$ es requerido por el principio de causalidad: para cualesquiera dos operadores $A(x), B(y)$ compuesto a partir de los campos relativistas (fermiónicos) $\psi$ el valor medio $[A(x),B(y)]$ es cero para intervalos similares al espacio, lo que se refleja en el requisito $[\psi(x),\psi^{\dagger}(y)]_{+} = 0$ por el espacio $(y-x)^{2}$ 's. Esto último es imposible sin la $v_{s}$ término.

Tenga en cuenta también que $u_{s}(\mathbf p)$ y $v_{s}(\mathbf p)$ están relacionados entre sí porque el campo $\psi(x)$ debe transformarse de manera definida, como representando la partícula con espín (helicidad) y masa dados, bajo las transformaciones de Lorentz. Para casos masivos, por ejemplo, tal relación dice

{tu}_{s} (pag) = (- 1)^{s + \frac{1}{2}} γ_{5} v_{- s} (pag)

$u_{s}(\mathbf p) = (-1)^{s+\frac{1}{2}}\gamma_{5}v_{-s}(\mathbf p)$ Dado que la ecuación de Dirac tiene un límite sin masa correcto, tal relación se cumple en el caso sin masa.

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No entiendo por qué estás confundido. El límite sin masa no requiere $u, v$ para abarcar diferentes subespacios; esto se debe a que la antipartícula obviamente no desaparece con $m\to 0$ . Más bien, los diferentes subespacios están atravesados por $u_{s}, u_{-s}$ y $v_{s}, v_{-s}$ correspondientemente, que es simplemente la afirmación de que la ecuación de Dirac se divide en dos ecuaciones de Weyl $\sigma^{\mu}p_{\mu}\psi(p) = 0$ y $\tilde{\sigma}^{\mu}p_{\mu}\psi(p) = 0$ .

Gracias por su respuesta. Estoy completamente de acuerdo contigo en el nivel de la solución completa que contiene la parte de la función de onda. Cuando hablaba de espinor, solo me refería al espinor de 4 componentes. ahora entiendo que $v$ y $u$ no mezcle para el mismo momento (en otras palabras: el $u(p)$ y $v(p)$ subespacios son invariablemente ortogonales bajo la acción del pequeño grupo asociado a $p$ ). También aclaré en mi pregunta lo que todavía me confunde...
A qué te refieres con $u_{-s}$ ? supongo que te refieres a eso $u^s(\vec{p})$ siempre abarca un subespacio ortogonal a $v^s(-\vec{p})?$ ? Supongo que eso es lo que confundí, porque para mi trabajo me centré en espinores masivos con $\vec{p}=0$ , así que ahí no importaba. Creo que esto me lo aclara. ¡Gracias!
@LFH: Quise decir eso $u_{1/2}(p)$ y $u_{-1/2}(p)$ son de diferentes subespacios que no están mezclados en el caso sin masa. Pero no $u_{s},v_{s}$ .
No estoy seguro de haber entendido tu aclaración. Que quieres decir con $u_{-1/2}(p)$ . Lo que entendí hasta ahora: para un impulso dado de 3 $\vec{p}$ , hay cuatro vectores base que abarcan el espacio de espinor de 4 dimensiones: a saber, primero $u_s(\vec{p})$ para $s=1,2$ y $v_s(-\vec{p})$ para $s=1,2$ . Además, estos abarcan dos subespacios bidimensionales que son ortogonales entre sí. No sé a qué te refieres si un índice que supera 1,2 tiene un signo menos.
@LFH: Solo quería decir que los valores $\pm 1/2$ corresponden a diferentes helicidades, que en el límite de $m\to 0$ se desacoplan entre sí en el sentido de que no se pueden cambiar usando las transformaciones continuas de Lorentz.
Gracias por todos sus comentarios, pero todavía estoy confundido. También creo que mi pensamiento original de que lo entendí no era correcto. Aclararé mi pregunta y tal vez puedas comentarla...

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