Derivación de ecuaciones de Euler-Lagrange para Lagrangianas con dependencia de derivadas de segundo orden

Supongamos ahora que el lagrangiano$L$es una función de$y(x), y'(x)$y también$y''(x)$, es decir, contiene segundas derivadas w/r del parámetro$x$.

Es sencillo adaptar el procedimiento habitual a este caso: escribir

$$\begin{align} Y(x,\epsilon)=y(x)+\epsilon\,\eta(x) \end{align}$$ para una función arbitraria$\eta$.

Entonces tenemos la integral parametrizada

$$\begin{align} I(\epsilon)=\displaystyle \int_a^b\,dx\,L(x,Y(x,\epsilon),Y'(x,\epsilon), Y''(x,\epsilon)) \end{align}$$ y queremos encontrar$L$en$\epsilon=0$de modo que $$\begin{align} 0&=\frac{dI}{d\epsilon}\vert_{\epsilon=0}\, ,\\ &=\displaystyle\int_a^b\,dx\, \left( \frac{\partial L}{\partial Y} \frac{\partial Y}{\partial \epsilon}+ \frac{\partial L}{\partial Y'}\frac{\partial Y'}{\partial \epsilon} +\frac{\partial L}{\partial Y''}\frac{\partial Y''}{\partial \epsilon} \right)\vert_{\epsilon=0}\, ,\\ &=\displaystyle\int_a^b\,dx\, \left( \frac{\partial L}{\partial y}\eta +\frac{\partial L}{\partial y'}\eta' +\frac{\partial L}{\partial y''} \eta'' \right)\, . \end{align}$$ Tenemos que cambiar los términos en$\eta'$y$\eta''$. Una primera integración por partes hará esto: $$\begin{align} \displaystyle\int_a^b\,dx\, \frac{\partial F}{\partial y'}\frac{d\eta}{dx} &=\frac{\partial F}{\partial y'}\eta(x)\Bigl\vert_a^b- \displaystyle\int_a^b\,dx\,\eta \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)\, ,\\ \displaystyle\int_a^b\,dx\, \frac{\partial F}{\partial y''} \frac{d\eta'}{dx}&= \frac{\partial F}{\partial y''}\eta'(x) \Bigl\vert_a^b- \displaystyle\int_a^b\,dx\,\eta' \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y''}\right)\, . \end{align}$$ Supongamos ahora que la función$\eta$se elige para que$\eta(b)=\eta(a)=0$como antes. Además, también debemos suponer que$\eta'(b)=\eta'(a)=0$, una nueva condición.

De esta manera tenemos

$$\begin{align} \displaystyle\int_a^b\,dx\, \frac{\partial L}{\partial y'}\eta'&= -\displaystyle\int_a^b\,dx\,\eta\, \frac{d}{dx} \left(\frac{\partial L}{\partial y'}\right)\, ,\\ \displaystyle\int_a^b\,dx\, \frac{\partial L}{\partial y''}\eta''&= -\displaystyle\int_a^b\,dx\,\eta'\, \frac{d}{dx}\left( \frac{\partial L}{\partial y''}\right)\, . \end{align}$$

Todavía tenemos que dar la vuelta$\eta'$por última vez. Usando integración por partes de nuevo:

$$\begin{align} -\displaystyle\int_a^b\,dx\,\eta' \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y''}\right)= + \displaystyle\int_a^b\,dx\, \eta\,\frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\partial F}{\partial y''}\right) \end{align}$$ donde la condición de contorno$\eta(b)=\eta(a)$se ha utilizado para eliminar el término límite.

Así, juntando todo esto, obtenemos

$$\begin{align} 0=\frac{dI}{d\epsilon}\Bigl\vert_{\epsilon=0} =\displaystyle\int_a^b \,dx\,\eta\, \left(\frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\partial F}{\partial y''}\right)-\frac{d}{dx} \left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right) +\frac{\partial F}{\partial y}\right)\, . \end{align}$$ Desde$\eta$es arbitraria (salvo las condiciones de contorno), encontramos por lo tanto la función$L$debe satisfacer la ecuación diferencial $$\begin{align} 0=\frac{d^2}{dx^2}\left( \frac{\partial L}{\partial y''}\right)- \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial L}{\partial y'}\right)+\frac{\partial L}{\partial y}\, . \end{align}$$ La generalización a$L$que contiene aún más derivadas es obvio: para a la derivada de orden$k$obtenemos un signo$(-1)^k$como necesitamos$k$Integraciones por partes. Así, obtenemos la ecuación de Euler-Lagrange generalizada en la forma $$\begin{align} 0&=\sum_{k}(-1)^k\frac{d^k}{dx^k} \left(\frac{\partial L}{\partial y^k}\right) \equiv E(L)\, ,\\ E&=\sum_k (-1)^k \frac{d^k}{dx^k} \frac{\partial }{\partial y^k}\, . \end{align}$$

Hay algo de discusión sobre esto (incluyendo cómo definir correctamente un impulso conjugado) a continuación:

Riahi, F. "Sobre lagrangianos con derivadas de orden superior". Revista americana de física 40.3 (1972): 386-390.

y también en

Borneas, M. "Sobre una generalización de la Función de Lagrange". Revista estadounidense de física 27.4 (1959): 265-267.

Dado que un usuario no ha convertido su comentario que casi responde a la pregunta en una respuesta, estoy haciendo esta publicación de wiki de la comunidad en caso de que se elimine el comentario:

Para un Lagrangiano que depende de derivadas de primer orden, encontraremos una ecuación de movimiento de segundo orden. Para tal ecuación necesitamos dos condiciones de contorno --- por ejemplo, la posición de la partícula en un tiempo inicial y final. Esta condición 'fija q en los puntos extremos'. Para un Lagrangiano que depende de derivadas de segundo orden, encontraremos una ecuación de movimiento de cuarto orden, en general. Así que necesitaremos cuatro condiciones de contorno, y fijar la velocidad (así como la posición) en el tiempo inicial y final hará el truco.

1. un lagrangiano$L(q,\dot{q},\ddot{q}, \ldots,q^{(N)},t)$[eso depende de hasta$N$derivadas temporales de th-order] tiene una variación infinitesimal de la forma

   $$\begin{align}\delta L&~~~=~\sum_{k=0}^N\sum_{j=1}^n \frac{\partial L}{\partial q^{j(k)}}\delta q^{j(k)}, \qquad q^{j(k)}~:=~\frac{d^kq^j}{dt^k},\cr &~~~\stackrel{(D)}{=}~ \sum_{k=0}^N\sum_{j=1}^n\left(\frac{d P_{(k)j}}{dt}+P_{(k-1)j}\right)\delta q^{j(k)}\cr &\stackrel{\text{Leibniz}}{=}~P_{(-1)j}~ \delta q^j+ \frac{d}{dt}\sum_{k=0}^{N-1}\sum_{j=1}^nP_{(k)j}~\delta q^{j(k)}.\end{align}\tag{A}$$ En la ec. (A) hemos usado que las variaciones infinitesimales$\delta$y derivadas del tiempo$\frac{d}{dt}$conmutar, y hemos definido una secuencia de cantidades $$P_{(k)j}~:=~\sum_{m=k+1}^N\left(-\frac{d}{dt} \right)^{m-(k+1)}\frac{\partial L}{\partial q^{j(m)}},$$ $$\qquad k~\in~\{-1,0,1,2,\ldots\} , \qquad j~\in~\{1,\ldots,n\} .\tag{B}$$ [La cola$P_{(N)j}$,$P_{(N+1)j}$,$\ldots$de la secuencia (B) desaparecen idénticamente.] En la secuencia (B), el primer elemento $$P_{(-1)j}~\stackrel{(B)}{:=}~\sum_{m=0}^N\left(-\frac{d}{dt} \right)^{m}\frac{\partial L}{\partial q^{j(m)}}, \qquad j~\in~\{1,\ldots,n\}, \tag{C}$$ es la propia expresión de Euler-Lagrange (EL); y los elementos posteriores$P_{(0)j}$,$P_{(1)j}$,$P_{(2)j}$,$\ldots$son los mayores momentos de Ostrogradsky$^1$; que satisfacen una relación de recurrencia $$\frac{d P_{(k)j}}{dt}+P_{(k-1)j}~\stackrel{(B)}{=}~\frac{\partial L}{\partial q^{j(k)}},$$ $$\qquad k~\in~\{0,1,2,\ldots\}, \qquad j~\in~\{1,\ldots,n\} . \tag{D}$$

2. La acción correspondiente

   $$S[q]~=~\int_{t_i}^{t_f} \! dt ~L(q,\dot{q},\ddot{q}, \ldots,q^{(N)},t)\tag{E}$$ tiene una variación infinitesimal de la forma $$\delta S~=~\int_{t_i}^{t_f} \! dt~\delta L ~\stackrel{(A)}{=}~\text{bulk-terms}+\text{boundary-terms},\tag{F}$$ dónde $$\text{bulk-terms}~=~\int_{t_i}^{t_f} \! dt \sum_{j=1}^n P_{(-1)j}~ \delta q^j,\tag{G}$$ y $$\text{boundary-terms} ~=~\sum_{k=0}^{N-1}\sum_{j=1}^n\left[P_{(k)j}~\delta q^{j(k)} \right]_{t=t_i}^{t=t_f}.\tag{H}$$

3. Ahora, para deducir las ecuaciones EL$^2$

   $$P_{(-1)j}~\stackrel{(G)}{\approx}~0,\qquad j~\in~\{1,\ldots,n\}, \tag{I}$$ cuales son$n$ ODE de$2N$th orden, necesitamos que los términos de frontera (H) desaparezcan especificando$2Nn$condiciones de contorno (BC), es decir$Nn$condiciones iniciales y$Nn$condiciones finales. Hay varias posibilidades:

   • BC esenciales:$q^{j(k)}$están fijos en el límite, donde$j\in\{1,\ldots,n\}$y$k\in\{0,\ldots,N\!-\!1\}$.

   • BC naturales:$P_{(k)j}$desaparecer en el límite, donde$j\in\{1,\ldots,n\}$y$k\in\{0,\ldots,N\!-\!1\}$.

   • Alguna combinación de BC esenciales y naturales .

4. Hasta ahora solo hemos discutido la formulación de Lagrange superior con un$N$Lagrangiano de th-orden. También hay una formulación hamiltoniana superior con variables de espacio de fase independientes$q^{j(k)}$y$P_{(k)j}$, dónde$j\in\{1,\ldots,n\}$y$k\in\{0,\ldots,N\!-\!1\}$.

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$^1$NB: El etiquetado de las variables Ostrogradski más altas se desplaza en uno en comparación con la notación de Wikipedia.

$^2$Aquí el$\approx$símbolo significa igualdad módulo eqs. de movimiento