Ruptura espontánea de simetría a una temperatura finita TTT: ¿Cómo se describe el estado en función de TTT?

Este no es un asunto simple, porque la ruptura de simetría espontánea (y, más generalmente, las transiciones de fase) solo pueden ocurrir para sistemas infinitos.

Solo discutiré la descripción clásica, y para mantener las cosas lo más simples posible, solo consideraré un sistema de espín discreto en$\mathbb{Z}^d$, como el modelo de Ising. Para tales sistemas, los estados se identifican con medidas de probabilidad en el conjunto de todas las configuraciones infinitas de espines.

Tenga en cuenta que para sistemas infinitos, no puede escribir las medidas de probabilidad como proporcionales a$e^{-\beta H}$, ya que la energía de un sistema infinito es en general indefinida (o infinita). Lo que siempre tiene sentido es el cociente de las probabilidades de dos configuraciones que coinciden fuera de un conjunto finito$\Lambda$. De hecho, la diferencia de energía es entonces finita (si las interacciones son absolutamente sumables).

Esto lleva a la siguiente caracterización de las medidas de probabilidad de volumen infinito que describen sistemas infinitos de espines:$\mu$es una medida de Gibbs si satisface las ecuaciones DLR, es decir, si

$$\mu(\sigma \text{ inside }\Lambda \,|\, \omega\text{ outside }\Lambda) = \frac1{Z_{\Lambda;\beta}^\omega} e^{-\beta H(\sigma_\Lambda\omega_{\Lambda^c})}$$ para todo conjunto finito de giros $\Lambda\subset\mathbb{Z}^d$y (casi) todas las configuraciones $\omega$afuera $\Lambda$.

La presencia de una decisión de estas ecuaciones está garantizada en general. Sin embargo, lo interesante es que la unicidad falla en general. Para un hamiltoniano dado ya una temperatura inversa dada, puede haber varias medidas de probabilidad que satisfagan estas ecuaciones. Cada uno de ellos describe uno de los estados de equilibrio del sistema.

Bajo suposiciones muy débiles, se puede probar que la unicidad siempre se mantiene a una temperatura suficientemente alta. Pero puede ocurrir que queden varios a bajas temperaturas. Esto es lo que sucede con el modelo de Ising en dimensiones$2$y superiores, o para el modelo clásico de Heisenberg en dimensiones$3$y por encima. En los dos últimos casos, la simetría del hamiltoniano suele romperse en esas medidas de Gibbs. Por ejemplo, en el modelo de Ising, tiene dos medidas que describen un sistema con magnetización positiva, respectivamente negativa; se pueden obtener tomando un sistema finito con$+$, respectivamente$-$, condición de frontera y tomando el límite termodinámico. Alternativamente, puede introducir un campo magnético (tiene un estado único en el caso) y dejar que la intensidad del campo magnético vaya a$0$; si tu dejas$h\downarrow 0$, obtienes el estado magnetizado positivamente, de lo que prefieres$h\uparrow 0$, obtienes el magnetizado negativamente.

Me detendré aquí, pero lo remito a nuestro libro sobre este tema, que se puede descargar aquí , para una discusión mucho más extensa y detallada.

Para resumir, déjame volver a tu pregunta. No es posible describir el estado como$T$varía (en particular a medida que cruza la temperatura crítica), ya que la ruptura espontánea de una simetría conduce a la existencia de varios estados distintos: uno para cada realización de la simetría rota, por ejemplo para cada dirección posible de la magnetización espontánea. (Tenga en cuenta que también puede obtener estados adicionales). Lo que puede hacer es caracterizar el conjunto de todos los estados a una temperatura dada y ver si hay estados en los que se rompe la simetría.

Finalmente, consideraciones similares también se aplican al caso cuántico, pero con complicaciones adicionales sustanciales.