¿La ruptura (espontánea) de la simetría implica un orden de largo alcance y viceversa?

Question

¿La ruptura (espontánea) de la simetría implica un orden de largo alcance y viceversa?

Física
materia Condensada
transición de fase
ruptura de simetría
funciones de correlación
mecánica estadística

SRS

Los sólidos cristalinos tienen un orden de largo alcance (donde se rompe la simetría), pero los líquidos solo tienen un orden de corto alcance (donde no se rompe la simetría). Los ferroimanes tienen un orden magnético de largo alcance, mientras que un paramagneto carece de él. Lo contrario también parece ser cierto, por ejemplo, en la transición Kosterlitz-Thouless no hay ruptura de simetría y no hay un orden de largo alcance (sino casi de largo alcance). Por orden de largo alcance, entiendo que por debajo de cierta temperatura crítica $T_c$ la función de correlación de dos puntos del parámetro de orden (densidad) se convierte en una constante (independiente de la posición).

¿Es esta una característica genérica? En otras palabras, ¿el orden de largo alcance implica necesariamente la ruptura de la simetría? ¿Y la ruptura de la simetría implica necesariamente el orden de largo alcance?

yvan velenik

La ruptura de la simetría implica un orden de largo alcance (de un tipo adecuado). Pero puede haber un orden de largo alcance sin que se rompa ninguna simetría.

SRS

" puede haber un orden de largo alcance sin que se rompa la simetría " ¿Puede dar un ejemplo de lo que tiene en mente?

yvan velenik

Ok, como un ejemplo trivial, considere la siguiente variante del modelo de Ising con un término adicional de 3 cuerpos:

H = - \sum_{i \sim j} σ_{i} σ_{j} - h \sum_{i} σ_{i} - ϵ \sum_{i \sim j \sim k} σ_{i} σ_{j} σ_{k}

$H=-\sum_{i\sim j}\sigma_i\sigma_j - h\sum_i \sigma_i - \epsilon\sum_{i\sim j\sim k}\sigma_i\sigma_j\sigma_k$ , dónde

\sim

$\sim$ significa "vecinos más cercanos". Este hamiltoniano no tiene simetría interna cuando

ϵ

$\epsilon$ es distinto de cero. Pero uno puede probar que, para cualquier pequeña

ϵ > 0

$\epsilon>0$ y cualquier temperatura lo suficientemente grande, uno puede encontrar un valor de

h

$h$ tal que hay un orden de largo alcance (existencia de dos estados de Gibbs con magnetización positiva, respectivamente negativa).

yvan velenik

Si quieres saber cómo analizar este tipo de sistemas, existe toda una teoría matemática dedicada a ello: la teoría de Pirogov-Sinai. Véase, por ejemplo, el capítulo 7 de este libro .

SRS

@YvanVelenik Como soy estudiante de física, el enlace de su libro es demasiado técnico para mí.

yvan velenik

No necesariamente (yo también era estudiante de física). Escribimos el libro pensando también en estudiantes avanzados de física, no solo matemáticos...

SRS

@YvanVelenik De acuerdo. Todavía es demasiado complicado y necesito algo de tiempo para analizarlo. Gracias por la referencia.

yvan velenik

Genial, espero que te guste, una vez que veas que en realidad no es tan complicado. Por supuesto, no recomendaría comenzar con el Capítulo 7.

Norberto Schuch

¿Está buscando una respuesta rigurosa, es decir, qué aspectos de esto se pueden probar? ¿O estás buscando la intuición "típica" detrás de esto? Además, ¿define SSB y LRO en primer lugar? (Quiero decir, hay definiciones claras, pero muchos físicos incluso las usan como sinónimos: una vez un colega me preguntó "¿a qué te refieres?" cuando señalé que eran conceptos a priori diferentes).

ruben verresen

Secundo a @NorbertSchuch: hay diferentes respuestas posibles según la definición de SSB y LRO. El OP debe agregar su definición deseada (o indicar explícitamente que estaría contento con cualquier definición que prefiera un respondedor). De manera relacionada, si uno cuenta LRO de 'órdenes de cadena', entonces hay claros contraejemplos de la supuesta equivalencia.

Norberto Schuch

@RubenVerresen Bueno, si tuviera que elegir la definición que quiero, elegiría lo mismo para ambos. Simplificaría enormemente la demostración. (De todos modos, hay conceptos claros; incluso más claros para los estados de Gibbs en lugar de los estados fundamentales). --- No estoy seguro de que sea completamente justo contar órdenes de cadenas; el problema es incluso sin ese increíble truco.

dengaku

La variante del modelo de Ising (7.1.1 en el libro de Yvan) se aborda como un ejemplo. Yvan dijo que este hamiltoniano no tiene simetría interna cuando ϵ no es cero. Veo que este modelo modificado pierde la simetría de cambio de giro global, una simetría obvia cuando

ϵ = 0

$\epsilon=0$ . Sin embargo, ¿se puede garantizar la inexistencia de 'cualquier simetría interna'? Uno puede identificar naturalmente cualquier modelo de espín clásico con un modelo cuántico especial introduciendo todas las matrices de Pauli,

x, y, z

$x,y,z$ . Entonces cualquier

A = A^{*}

$A=A^\ast$ tal que

[H, A] = 0

$[H, A]=0$ genera una simetría para

H

$H$ . Hay muchas de esas simetrías.

dengaku

En 7.1.1 Yvan mencionó los únicos estados fundamentales posibles

η^{+}

$\eta^{+}$ ,

η^{-}

$\eta^{-}$ que se asignan entre sí por la simetría de inversión global. Pero se sabe que el caso del estado fundamental es excepcional. Supongo que para los estados de equilibrio térmico (definidos por la condición DLR) tal situación difícilmente sucede. ¿Podría proporcionar su respuesta sobre la relación entre LRO y SSB para el caso de equilibrio térmico a temperatura positiva?

Respuestas (1)

¿La ruptura (espontánea) de la simetría implica un orden de largo alcance y viceversa?

La ruptura de la simetría implica un orden de largo alcance (de un tipo adecuado). Pero puede haber un orden de largo alcance sin que se rompa ninguna simetría.
" puede haber un orden de largo alcance sin que se rompa la simetría " ¿Puede dar un ejemplo de lo que tiene en mente?
Ok, como un ejemplo trivial, considere la siguiente variante del modelo de Ising con un término adicional de 3 cuerpos: $H=-\sum_{i\sim j}\sigma_i\sigma_j - h\sum_i \sigma_i - \epsilon\sum_{i\sim j\sim k}\sigma_i\sigma_j\sigma_k$ , dónde $\sim$ significa "vecinos más cercanos". Este hamiltoniano no tiene simetría interna cuando $\epsilon$ es distinto de cero. Pero uno puede probar que, para cualquier pequeña $\epsilon>0$ y cualquier temperatura lo suficientemente grande, uno puede encontrar un valor de $h$ tal que hay un orden de largo alcance (existencia de dos estados de Gibbs con magnetización positiva, respectivamente negativa).
Si quieres saber cómo analizar este tipo de sistemas, existe toda una teoría matemática dedicada a ello: la teoría de Pirogov-Sinai. Véase, por ejemplo, el capítulo 7 de este libro .
@YvanVelenik Como soy estudiante de física, el enlace de su libro es demasiado técnico para mí.
No necesariamente (yo también era estudiante de física). Escribimos el libro pensando también en estudiantes avanzados de física, no solo matemáticos...
@YvanVelenik De acuerdo. Todavía es demasiado complicado y necesito algo de tiempo para analizarlo. Gracias por la referencia.
Genial, espero que te guste, una vez que veas que en realidad no es tan complicado. Por supuesto, no recomendaría comenzar con el Capítulo 7.
¿Está buscando una respuesta rigurosa, es decir, qué aspectos de esto se pueden probar? ¿O estás buscando la intuición "típica" detrás de esto? Además, ¿define SSB y LRO en primer lugar? (Quiero decir, hay definiciones claras, pero muchos físicos incluso las usan como sinónimos: una vez un colega me preguntó "¿a qué te refieres?" cuando señalé que eran conceptos a priori diferentes).
Secundo a @NorbertSchuch: hay diferentes respuestas posibles según la definición de SSB y LRO. El OP debe agregar su definición deseada (o indicar explícitamente que estaría contento con cualquier definición que prefiera un respondedor). De manera relacionada, si uno cuenta LRO de 'órdenes de cadena', entonces hay claros contraejemplos de la supuesta equivalencia.
@RubenVerresen Bueno, si tuviera que elegir la definición que quiero, elegiría lo mismo para ambos. Simplificaría enormemente la demostración. (De todos modos, hay conceptos claros; incluso más claros para los estados de Gibbs en lugar de los estados fundamentales). --- No estoy seguro de que sea completamente justo contar órdenes de cadenas; el problema es incluso sin ese increíble truco.
La variante del modelo de Ising (7.1.1 en el libro de Yvan) se aborda como un ejemplo. Yvan dijo que este hamiltoniano no tiene simetría interna cuando ϵ no es cero. Veo que este modelo modificado pierde la simetría de cambio de giro global, una simetría obvia cuando $\epsilon=0$ . Sin embargo, ¿se puede garantizar la inexistencia de 'cualquier simetría interna'? Uno puede identificar naturalmente cualquier modelo de espín clásico con un modelo cuántico especial introduciendo todas las matrices de Pauli, $x,y,z$ . Entonces cualquier $A=A^\ast$ tal que $[H, A]=0$ genera una simetría para $H$ . Hay muchas de esas simetrías.
En 7.1.1 Yvan mencionó los únicos estados fundamentales posibles $\eta^{+}$ , $\eta^{-}$ que se asignan entre sí por la simetría de inversión global. Pero se sabe que el caso del estado fundamental es excepcional. Supongo que para los estados de equilibrio térmico (definidos por la condición DLR) tal situación difícilmente sucede. ¿Podría proporcionar su respuesta sobre la relación entre LRO y SSB para el caso de equilibrio térmico a temperatura positiva?

parker · Answer 1

Hay algunas sutilezas, pero la respuesta es básicamente "sí" en sistemas locales invariantes traslacionalmente, debido a la propiedad de descomposición de grupos . Empíricamente, prácticamente cualquier sistema físico "realista" satisface la propiedad de que

\underset{| X - y | \to \infty}{límite} [⟨ A (X) B (y) ⟩ - ⟨ A (X) ⟩ ⟨ B (y) ⟩] = 0

$\lim_{|x - y| \to \infty} \left[ \langle A(x)\, B(y) \rangle - \langle A(x) \rangle \langle B(y) \rangle \right] = 0$ para cualquier operador local

A (x)

$A(x)$ y

B (y)

$B(y)$ . En otras palabras, las correlaciones decaen con la distancia, por lo que los valores esperados de los observables lejanos no están correlacionados. (Uno puede derivar este resultado de varios supuestos técnicos de localidad.) Si

m (x)

$m(x)$ es un parámetro de orden de ruptura de simetría local, entonces

⟨ m (x) ⟩ \equiv \bar{m}

$\langle m(x) \rangle \equiv \bar{m}$ es constante por invariancia traslacional, por lo que si dejamos

A (x) = B (x) = m (x)

$A(x) = B(x) = m(x)$ en la identidad anterior entonces tenemos

\underset{| X - y | \to \infty}{límite} ⟨ metro (X) metro (y) ⟩ = {\bar{metro}}^{2} .

$\lim_{|x - y| \to \infty} \langle m(x)\, m(y) \rangle = \bar{m}^2.$ El lado izquierdo que es distinto de cero define el orden de largo alcance, y el lado derecho que es distinto de cero define la ruptura espontánea de la simetría, por lo que vemos que cualquiera implica al otro.

La propiedad de agrupamiento NO es cierta en esta forma para estados básicos degenerados, ¡que es exactamente lo que se necesita en el caso de SSB! Además, ¿cómo define SSB? ¡Su argumento parece bastante circular! ¿No definiría SSB como "si pongo una pequeña perturbación, obtengo una magnetización espontánea" y LRO como "hay correlaciones de largo alcance"? --- Quiero decir, ¡¿de dónde viene el reclamo de igualdad en la segunda ecuación?! --- A mí, tu respuesta me suena un poco a "es verdad porque sabemos que es verdad".
@NorbertSchuch (a) La propiedad del clúster ciertamente se cumple para los estados fundamentales degenerados que no son gatos, que son los que se observan físicamente. (b) Estoy definiendo SSB como "cuando los experimentadores miden el parámetro de orden de ruptura de simetría $m(x)$ , encuentran un valor distinto de cero." (c) La segunda igualdad se sigue de la primera.
No estoy seguro de llamar a esto una "definición", ya que depende en gran medida de la configuración experimental, pero así será, y creo que esto puede estar estrechamente relacionado con la definición formal de SSB. Ok, entonces: ¿Cómo defines LRO?
@NorbertSchuch La existencia de un parámetro de orden local que rompe la simetría $m(x)$ tal que $\underset{| X - y | \to \infty}{límite} ⟨ metro (X) metro (y) ⟩ = C \neq 0.$ $\lim_{|x-y| \to \infty} \langle m(x)\ m(y) \rangle = C \neq 0.$ A diferencia de SSB, esto no se puede determinar a través de mediciones locales.
Pero si solo observa los estados con la propiedad de agrupamiento, esto es trivialmente lo mismo. Y por lo tanto puede ser determinado por mediciones locales.
@tparker Gracias por la respuesta. ¿Existe una fórmula general cuando $|x-y|$ es finito (cuyo límite $|x-y|\to \infty$ da su primera ecuación)?
@NorbertSchuch El hecho no trivial, que requiere mediciones no locales para verificar, es que los estados físicos siempre se observan experimentalmente para respetar la descomposición del grupo. Todavía hay cierto desacuerdo teórico sobre por qué. Una vez que acepta esto, la equivalencia entre SSB y LRO se vuelve trivial (al menos en sistemas invariantes de traducción).
@SRS No es uno exacto que se mantenga en general. El comportamiento de la función de correlación depende mucho del sistema a distancias menores o comparables a la longitud de correlación $\xi$ . Pero la forma asintótica de la función de correlación para distancias mucho más largas que la longitud de correlación suele ser una caída exponencial. $\sim \exp(-|x-y|/\xi)$ por encima de la temperatura crítica, un decaimiento de ley de potencia $\sim 1/|x-y|^p$ a la temperatura crítica, y de la forma $\sim C + \exp(-|x-y|/\xi)$ por debajo de la temperatura crítica.
@tparker Entonces deberías decir que es trivial y eso es todo. El siguiente paso sería explicar la conexión heurística entre los dos conceptos dado algún campo medio (= agrupamiento) ansatz. Pero el punto es que los conceptos son diferentes: por ejemplo, si olvida la materia cuántica y observa los estados de Gibbs, LRO también se observa en los estados de Gibbs, que NO rompen la simetría. El misterio es: Siempre que hay una simetría y el estado de Gibbs tiene LRO, entonces el estado de Gibbs con una pequeña perturbación está rompiendo la simetría. (Del mismo modo para los estados fundamentales de volumen finito.) Este es un bastante no trivial ...
... conexión, que se puede explicar heurísticamente con algunos argumentos de tipo de campo medio, sin embargo (AFAIK) ha resistido evaluaciones rigurosas. (Sin mencionar la relación cuantitativa entre el valor LRO y la magnetización.) Tenga en cuenta que esto no es puramente matemático; por ejemplo, en QMC es exactamente el LRO el que se mide para calcular la (supuesta) magnetización espontánea.

¿La ruptura (espontánea) de la simetría implica un orden de largo alcance y viceversa?

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