Declaración precisa del teorema de Mermin-Wagner

Enunciaré una versión del teorema, válida para sistemas clásicos. No daré el marco más general, ya que las cosas se complican, pero esto debería darle una idea de qué tan general es el resultado.

Necesitamos los siguientes ingredientes:

• Giros: a cada vértice de la red.$\mathbb{Z}^2$, adjuntamos un giro$\phi_x$tomando valores en algún espacio topológico compacto$S$.
• Grupo de simetría: un grupo de mentira compacto y conectado$G$actuando$S$.
• Interacción: una función continua por partes$U:S\times S\to\mathbb{R}$, invariante bajo la acción de$G$:$U(g\phi_x,g\phi_y) = U(\phi_x,\phi_y)$, para cada$g\in G$.
• Constantes de acoplamiento: una colección$(J_x)_{x\in\mathbb{Z}^d}$de números reales no negativos, tales que$\sum_{x\neq 0} J_x<\infty$.

Entonces consideramos el hamiltoniano formal

No hay pérdida de generalidad al suponer que$\sum_{x\neq 0} J_x = 1$(dado que uno siempre puede cambiar la escala$U$). Con esta normalización, podemos considerar el paseo aleatorio$X$en$\mathbb{Z}^2$con probabilidades de transición de$x$a$y$dada por$J_{y-x}$.

Entonces, el enunciado toma la siguiente forma: bajo los supuestos anteriores, todas las medidas de Gibbs de volumen infinito asociadas al hamiltoniano formal$H$son invariantes bajo la acción de$G$, siempre que el paseo aleatorio$X$es recurrente

Como ejemplo, considérese el caso de la$O(N)$modelo. En ese caso,$S=\mathbb{S}^{N-1}$es el$(N-1)$-esfera,$G=O(N)$es el grupo de rotaciones de$\mathbb{S}^{N-1}$,$U(\phi_x,\phi_y) = -\phi_x \cdot \phi_y$es menos el producto escalar de los dos vectores unitarios. El resultado anterior muestra que todas las medidas de Gibbs de volumen infinito asociadas a la$O(N)$-modelo son invariantes de rotación (lo que implica en particular que no puede haber magnetización espontánea) tan pronto como la caminata aleatoria$X$es recurrente Curiosamente, se sabe, en ese caso, que hay magnetización espontánea (y, por lo tanto, ruptura espontánea de la simetría de rotación) a bajas temperaturas, tan pronto como la caminata aleatoria$X$es transitorio Si prefiere un criterio más explícito, restrinja su atención al caso$J_x \propto |x|^{-\alpha}$. Entonces, la discusión anterior implica que hay una ruptura de simetría espontánea a bajas temperaturas en el$O(N)$-modelo si y solo si$\alpha<4$.

[EDITAR:] Aquí hay una lista (muy incompleta) de referencias para algunos de los puntos mencionados anteriormente.

Versión del teorema dado anteriormente:

Modelos 2D de física estadística con simetría continua: el caso de interacciones singulares , D. Ioffe, S. Shlosman e Y. Velenik, Commun. Matemáticas. física 226 , 433-454 (2002). arXiv:math/0110127

(El resultado es en realidad un poco más general que el indicado anteriormente).

Prueba para gráficos generales (bajo el supuesto de que la caminata aleatoria asociada es recurrente y para una interacción diferenciable dos veces continua$U$):

Paseos aleatorios recurrentes y ausencia de ruptura de simetría continua en gráficos , F. Merkl y H. Wagner, J. Statist. física 75 (1994), núm. 1-2, 153–165.

(Nuevamente, sus resultados son sustancialmente más generales que eso: no tratan necesariamente acoplamientos ferromagnéticos, sistemas cuánticos, etc.)

prueba de que$O(N)$modelos en$\mathbb{Z}^d$mostrar magnetización espontánea a bajas temperaturas tan pronto como la caminata aleatoria asociada sea transitoria:

El fenómeno de Mermin-Wagner y las propiedades de conglomerados de sistemas unidimensionales y bidimensionales , CA Bonato, JF Perez, A. Klein, J. Statist. física 29 (1982), núm. 2, 159–175.

También puede consultar el Teorema (20.15) en

Medidas de Gibbs y transiciones de fase , H.-O. Georgii, de Gruyter Studies in Mathematics, 9. Walter de Gruyter & Co., Berlín, 1988.

Por supuesto, hay muchas otras referencias relevantes. Por favor revise la bibliografía dada en estas referencias.

Una breve respuesta a las preguntas 2 y 3:

2. En el artículo de Mermin-Wagner, la condición de corto alcance se establece como$\sum_{\bf R} {\bf R}^2 |J_{\bf R}|<+\infty$. Para interacciones con (o más precisamente mayorizadas por a) ley de potencia decae$|J_{\bf R}| \sim R^{-\alpha}$, esto requiere$\alpha > D+2$, dónde$D$es la dimensionalidad del espacio (es decir,$\alpha >4$por$D=2$o$\alpha >3$por$D=1$). Esta condición de corto alcance se puede hacer menos estricta (y, por lo tanto, el teorema de Mermin-Wagner más general): consulte PRL 87, 137303 (2001) o PRL 107, 107201 (2011) para obtener detalles.

3. No es necesario que las interacciones sean isotrópicas, es decir, como las de Heisenberg, pero el estado fundamental debe ser invariable bajo un grupo continuo de simetría y poseer un modo Goldone sin masa, de modo que el espectro de ondas de espín no tenga espacios. Entonces, el teorema de Mermin-Wagner se cumple para los modelos de Heisenberg y XY, pero no para el modelo de Ising.